21.设随机变量X的概率密度为-|||-(1) f(x)= ^2)),1leqslant xleqslant 2 0, . ,-|||-求X的分布函数F (x),并画出(2)中的f(x)及F(x )的图形.

考察知识

随机变量的分布函数函数求解，需根据概率密度函数的分段区间，通过积分计算累积分布函数$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$。

题目（1）解答

概率密度$f(x)$分段为：
$f(x)=\begin{cases}2\left(1-\frac{1}{x^2}),&1\leq x\leq2\\0,&\text{其他}\end{cases}$
分区间分段讨论：

1. $x<1$：积分区间无非零$f(x)$，故$F(x)=\int_{-\infty}^x 0dt=0$；
2. $1\leq x\leq2$：积分区间为$\int_{1}^x 2(1-\frac{1}{t^2})dt$，计算得：
   $\int 2(1-\frac{1}{t^2})dt=2(t+\frac{1}{t})+C$
   代入上下限代入：$2(x+\frac{1}{x})-2(1+1)=2(x+\frac{1}{x}-2)$；
3. $x>2$：积分覆盖全部非零区间，累积概率为1，故$F(x)=1$。

题目（2）解答

概率密度$f(x)$分段为：
$f(x)=\begin{cases}x,&0\leq x<1\\2-x,&1\leq x<2\\0,&\text{其他}\end{cases}$
区间分段讨论：

1. $x<0$：积分区间无非零$f(x)$，故$F(x)=0$；
2. $0\leq x<1$：积分$\int_{0}^x tdt=\frac{x^2/2\}_0^x=x^2/2$；
3. $1\leq x<2$：积分分两段：$\int_{0}^1 tdt+\int_{1}^x (2-t)dt$，计算得：
   $\int_{0}^1 tdt=\frac{1}{2},\quad\int_{1}^x (2-t)dt=2x-\frac{x^2}{2}-(2-\frac{1}{2})=-\frac{x^2}{2}+2x-\frac{3}{2}$
   累加得$F(x)=-\frac{x^2}{2}+2x-1$；
4. $x\geq2$：积分覆盖全部非零区间，累积概率为1，故$F(x)=1$。