3.计算下列对坐标的曲面积分:-|||-(1) iint (x)^2(y)^2zdxdy, 其中∑是球面 ^2+(y)^2+(z)^2=(R)^2 的下半部分的下侧;

考查要点：本题主要考查对坐标的曲面积分的计算，涉及曲面侧的确定、投影法转换为二重积分、极坐标变换以及特殊积分公式的应用。

解题核心思路：

1. 确定曲面侧的方向：下半球面的下侧对应法向量指向下方，积分时需调整符号。
2. 投影转换：将曲面积分投影到$xOy$平面，转化为二重积分。
3. 极坐标变换：利用极坐标简化积分表达式。
4. 分部积分与递推公式：处理复杂的幂函数与根号函数的乘积积分。

破题关键点：

• 符号处理：下侧积分需取负号。
• 变量代换：将$\rho = R \sin t$简化径向积分。
• 三角恒等式：将$\cos^2\theta \sin^2\theta$转化为$\frac{1}{4}\sin^2 2\theta$。

第（1）题

投影与符号处理

曲面$\sum$是球面$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$的下半部分（$z \leq 0$），下侧对应法向量指向下方。投影到$xOy$平面的区域为：
$D_{xy} = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 \leq R^2 \}$
曲面上$z = -\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$，因取下侧，积分符号取负：
$\iint_{\sum} x^2 y^2 z \, dx dy = -\iint_{D_{xy}} x^2 y^2 \cdot \left( -\sqrt{R^2 - x^2 - y^2} \right) dx dy = \iint_{D_{xy}} x^2 y^2 \sqrt{R^2 - x^2 - y^2} dx dy$

极坐标变换

令$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，则$dx dy = \rho d\rho d\theta$，积分变为：
$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} (\rho^2 \cos^2 \theta)(\rho^2 \sin^2 \theta) \sqrt{R^2 - \rho^2} \cdot \rho d\rho d\theta = \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta \sin^2 \theta d\theta \cdot \int_{0}^{R} \rho^5 \sqrt{R^2 - \rho^2} d\rho$

角度积分

利用三角恒等式$\cos^2 \theta \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \sin^2 2\theta$：
$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} \sin^2 2\theta d\theta = \frac{1}{4} \cdot \pi = \frac{\pi}{4}$

径向积分

令$\rho = R \sin t$，则$d\rho = R \cos t dt$，$\sqrt{R^2 - \rho^2} = R \cos t$，积分变为：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^7 \sin^5 t \cos^2 t dt = R^7 \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 t dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 t dt \right)$
利用递推公式计算得：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 t dt = \frac{8}{15}, \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 t dt = \frac{16}{35}$
因此：
$\int_{0}^{R} \rho^5 \sqrt{R^2 - \rho^2} d\rho = R^7 \left( \frac{8}{15} - \frac{16}{35} \right) = \frac{8R^7}{105}$

合并结果

最终结果为：
$$
\frac{\pi}{4} \cdot \frac{8R^7}{105} = \frac{2}{105} \pi R^7

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