题目
设Sigma:z=sqrt(1-x^2-y^2),gamma是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算I=iint_(Sigma)z^2cosgamma,dS. A. (2pi)/(3)B. 0C. 1D. (pi)/(2)
设$\Sigma:z=\sqrt{1-x^2-y^2}$,$\gamma$是其外法线与$z$轴正向夹成的锐角,计算$I=\iint_{\Sigma}z^2\cos\gamma\,dS$.
- A. $\frac{2\pi}{3}$
- B. $0$
- C. $1$
- D. $\frac{\pi}{2}$
题目解答
答案
将曲面 $\Sigma: z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 转换为极坐标，其中 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
计算得 $\cos \gamma = z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，曲面元素 $dS = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \, dA$。
曲面积分化为二重积分：
\[
I = \iint_{D} (1 - x^2 - y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r - r^3) \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2}.
\]
或使用球坐标，令 $x = \sin \phi \cos \theta$，$y = \sin \phi \sin \theta$，$z = \cos \phi$，得
\[
I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \phi \sin \phi \, d\phi \, d\theta = \frac{\pi}{2}.
\]
**答案：** $\boxed{D}$
解析
步骤 1：转换曲面方程
将曲面 $\Sigma: z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 转换为极坐标，其中 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
步骤 2：计算 $\cos \gamma$
计算得 $\cos \gamma = z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，曲面元素 $dS = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \, dA$。
步骤 3：曲面积分化为二重积分
曲面积分化为二重积分： \[ I = \iint_{D} (1 - x^2 - y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r - r^3) \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2}. \]
步骤 4：使用球坐标
或使用球坐标，令 $x = \sin \phi \cos \theta$，$y = \sin \phi \sin \theta$，$z = \cos \phi$，得 \[ I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \phi \sin \phi \, d\phi \, d\theta = \frac{\pi}{2}. \]
将曲面 $\Sigma: z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 转换为极坐标，其中 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
步骤 2：计算 $\cos \gamma$
计算得 $\cos \gamma = z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，曲面元素 $dS = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \, dA$。
步骤 3：曲面积分化为二重积分
曲面积分化为二重积分： \[ I = \iint_{D} (1 - x^2 - y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r - r^3) \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2}. \]
步骤 4：使用球坐标
或使用球坐标，令 $x = \sin \phi \cos \theta$，$y = \sin \phi \sin \theta$，$z = \cos \phi$，得 \[ I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \phi \sin \phi \, d\phi \, d\theta = \frac{\pi}{2}. \]