求下列数列的极限:lim_(ntoinfty)(1-(1)/(2^2))(1-(1)/(3^2))cdot...cdot(1-(1)/(n^2))
题目解答
答案
将原式中每一项进行因式分解：
$1 - \frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}.$
则原式变为：
$\prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \left(\prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k}\right) \left(\prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k}\right).$
分别计算两个乘积：
$\prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} = \frac{1}{n}, \quad \prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k} = \frac{n+1}{2}.$
相乘得：
$\frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}.$
取极限：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{2}}$
解析
本题考查数列极限的计算，解题的关键思路是先对数列的每一项进行因式分解，然后通过裂项相消的方法化简乘积式，最后再求极限。
11. 对数列每一项进行因式分解分解：
对于数列中的每一项一项$1 - \frac{1}{k^2}$（$kk$从$2)到\(n$），根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，可得：
$1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 - 1}{k^2} = \frac{(k - 1)(k + 1)}{k^2}$
2. 将原式转化为两个乘积的形式：
原数列$\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})\cdot\cdots\cdot(1-\frac{1}{n^{2}})$可表示为$\lim_{n\to\infty}\prod_{k = 2}^{n}(1 - \frac{1}{k^2})$，将每一项因式分解后的结果代入可得：
$\lim_{n\to\infty}\prod_{k = 2}^{n}\frac{(k - 1)(k + 1)}{k^2}=\lim_{n\to\infty}\left(\prod_{k = 2}^{n}\frac{k - 1}{k}\right)\left(\prod_{k = 2}^{n}\frac{k + 1}{k}\right)$
3. 分别计算两个乘积的值**：
- 计算$\prod_{k = 2}^{n}\frac{k - 1}{k}$：
$\prod_{k = 2}^{n}\frac{k - 1}{k}=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\cdots\times\frac{n - 1}{n}$
可以发现相邻两项可以约分，最后只剩下第一项的第一项的分子$1$和最后一项的分母$n$，所以$\prod_{k = 2}^{n}\frac{k - 1}{k}}=\frac{1}{n}$。 - 计算$\prod_{k = 2fracfracfrac{k + 1}{k}}$
$\prod_{k = 2}^{n}\frac{k + 1}{k}=\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}\times\cdots\times\frac{n + 1}{n}$
同样相邻两项约分后，只剩下第一项的分母$2$和最后一项的分子$n + 1$，所以$\prod_{k = 2}^{n}\frac{k + 1}{k}=\frac{n + 1}{2}$。
- 计算化简后的式子的值：
将上述两个乘积的值相乘可得：
$\frac{1}{n}\cdot\frac{n + 1}{2}=\frac{n + 1}{2n}}$ - 求极限：
对$\lim_{n\to\infty}\frac{n + 1}{2n}$进行计算，分子分母同时除以$n$，得到$\lim_{n\to\infty}\frac{1 + \frac{1}{n}}{2}}$。
当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}\to0$，所以$\lim_{n\to\infty}\frac{1 + \frac{1}{n}}{2}=\frac{1 + 0}{2}=\frac{1}{2}$。