题目
12. (4.0分) 若函数z=xy^2在点(2,3)处沿overrightarrow(l)方向的变化最大，则方向导数(partial z)/(partial l)=____
12. (4.0分) 若函数$z=xy^{2}$在点(2,3)处沿$\overrightarrow{l}$方向的变化最大，则方向导数$\frac{\partial z}{\partial l}=$____
题目解答
答案
函数 $ z = xy^2 $ 在点 $(2,3)$ 处的梯度为：
\[
\nabla z = \left( y^2, 2xy \right) \bigg|_{(2,3)} = (9, 12)
\]
梯度的模长表示方向导数的最大值：
\[
|\nabla z| = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15
\]
因此，方向导数 $\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}$ 的最大值为 $\boxed{15}$。
解析
步骤 1：计算函数 $z = xy^2$ 在点 $(2,3)$ 处的梯度
函数 $z = xy^2$ 的梯度为 $\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$。计算偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x} = y^2$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2xy$。将点 $(2,3)$ 代入，得到 $\nabla z = (9, 12)$。
步骤 2：计算梯度的模长
梯度的模长表示方向导数的最大值，即 $|\nabla z| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$。
函数 $z = xy^2$ 的梯度为 $\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$。计算偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x} = y^2$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2xy$。将点 $(2,3)$ 代入，得到 $\nabla z = (9, 12)$。
步骤 2：计算梯度的模长
梯度的模长表示方向导数的最大值，即 $|\nabla z| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$。