均匀细棒长L,质量m,求棒对垂直通过细棒中心轴的转动惯量____,如果转轴平移至细端点,则转动惯量为____.求半径R均匀圆环m对圆心C的转动惯量:____,求半径R均匀圆盘m对轴的转动惯量____。

转动惯量是物体转动惯性大小的量度，其计算与物体质量分布及转轴位置密切相关。本题涉及均匀细棒、圆环、圆盘三种常见几何体绕不同轴的转动惯量，需掌握以下核心知识点：

1. 均匀细棒绕中心轴的转动惯量公式；
2. 平行轴定理的应用（转轴平移时转动惯量的计算）；
3. 均匀圆环和均匀圆盘绕对称轴的转动惯量公式。

关键思路：直接代用标准公式或结合平行轴定理推导。

第一空：均匀细棒绕中心轴的转动惯量

公式直接应用
均匀细棒绕垂直于棒且过中心的轴，转动惯量为：
$I_1 = \frac{1}{12}mL^2$

第二空：细棒绕端点轴的转动惯量

平行轴定理
已知绕质心轴的转动惯量 $I_{\text{cm}} = \frac{1}{12}mL^2$，转轴平移至端点，距离 $d = \frac{L}{2}$，根据平行轴定理：
$I_2 = I_{\text{cm}} + m d^2 = \frac{1}{12}mL^2 + m\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{3}mL^2$

第三空：均匀圆环绕圆心轴的转动惯量

质量集中于半径 $R$ 处
所有质量元素到轴的距离均为 $R$，转动惯量为：
$I_3 = \sum m_i R^2 = mR^2$

第四空：均匀圆盘绕轴的转动惯量

积分法或公式记忆
将圆盘视为无数同心圆环叠加，积分得：
$I_4 = \frac{1}{2}mR^2$