求下列不定积分(1)int sqrt [5]({(3-5x))^3}dx(2)int sqrt [5]({(3-5x))^3}dx(3)int sqrt [5]({(3-5x))^3}dx

核心思路：

1. 换元法：当被积函数是复合函数形式时，通过替换简化积分。
2. 分式分解：将复杂分式拆分为简单分式之和，便于积分。
3. 三角恒等式：利用二倍角公式将高次三角函数转化为一次函数组合。

第（1）题

关键步骤：

1. 换元：令 $u = 3 - 5x$，则 $du = -5 dx$，即 $dx = -\dfrac{1}{5} du$。
2. 代入积分：原式变为 $-\dfrac{1}{5} \int u^{\frac{3}{5}} du$。
3. 幂函数积分：$\int u^n du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C$，此处 $n = \dfrac{3}{5}$。
4. 还原变量：将 $u$ 替换回 $3 - 5x$，整理系数。

第（2）题

关键步骤：

1. 分子分母同乘 $e^{-x}$：原式变形为 $\int \dfrac{1}{e^x(e^x + 1)} dx$。
2. 换元：令 $t = e^x$，则 $dt = e^x dx$，即 $dx = \dfrac{dt}{t}$。
3. 分式分解：$\dfrac{1}{t(t+1)} = \dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{t+1}$。
4. 积分：分别积分 $\dfrac{1}{t}$ 和 $\dfrac{1}{t+1}$。
5. 还原变量：将 $t$ 替换回 $e^x$。

第（3）题

关键步骤：

1. 二倍角公式：$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$。
2. 拆分积分：$\int \dfrac{1}{2} dx + \int \dfrac{\cos 2x}{2} dx$。
3. 逐项积分：
   • $\int \dfrac{1}{2} dx = \dfrac{x}{2}$。
   • $\int \dfrac{\cos 2x}{2} dx = \dfrac{1}{4} \sin 2x$（注意系数 $\dfrac{1}{2}$ 来自 $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$）。