题目
已知三阶矩阵A的三个特征值为1,2,3，则|A|=____； A^-1的特征值为____；A*的特征值为____.
已知三阶矩阵A的三个特征值为1,2,3，则|A|=____； $A^{-1}$的特征值为____；A*的特征值为____.
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要使用特征值的性质和矩阵行列式、逆矩阵以及伴随矩阵的定义。让我们一步步来分析。
1. **计算A的行列式：**
一个矩阵的行列式等于其特征值的乘积。已知矩阵 $ A $ 的特征值为1, 2, 和 3，我们有：
\[
|A| = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6.
\]
2. **找到 $ A^{-1} $ 的特征值：**
如果 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，那么 $ \frac{1}{\lambda} $ 是矩阵 $ A^{-1} $ 的特征值。因此， $ A^{-1} $ 的特征值为：
\[
\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \quad \text{即} \quad 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}.
\]
3. **找到 $ A^* $ 的特征值：**
矩阵 $ A $ 的伴随矩阵 $ A^* $ 由 $ A^* = |A| A^{-1} $ 给出。由于 $ |A| = 6 $，我们有 $ A^* = 6 A^{-1} $。如果 $ \lambda $ 是矩阵 $ A^{-1} $ 的特征值，那么 $ 6\lambda $ 是矩阵 $ A^* $ 的特征值。因此， $ A^* $ 的特征值为：
\[
6 \cdot 1, 6 \cdot \frac{1}{2}, 6 \cdot \frac{1}{3} \quad \text{即} \quad 6, 3, 2.
\]
将所有答案汇总，我们得到：
\[
|A| = 6, \quad A^{-1} \text{的特征值为} \quad 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \quad A^* \text{的特征值为} \quad 6, 3, 2.
\]
因此，最终答案是：
\[
\boxed{6, \, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \, 6, 3, 2}
\]
解析
本题考查矩阵特征值、行列式、逆矩阵以及伴随矩阵的相关知识。解题思路是根据矩阵特征值的性质和矩阵行列式、逆矩阵以及伴随矩阵的定义来逐步计算。
- 计算$\vert A\vert$：
根据矩阵行列式的性质，一个矩阵的行列式等于其特征值的乘积。已知矩阵$A$的特征值为$1$，$2$，和$3$，则：
$\vert A\vert = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ - 找到$A^{-1}$的特征值：
根据矩阵逆矩阵特征值的性质，如果$\lambda$是矩阵$A$的特征值，那么$\frac{1}{\lambda}$是矩阵$A^{-1}$的特征值。已知矩阵$A$的特征值为$1$，$2$，$3$，则$A^{-1}$的特征值为：
$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \quad \text{即} \quad 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ - 找到$A^*$的特征值：
根据矩阵伴随矩阵的定义，矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$由$A^* = \vert A\vert A^{-1}$给出。已知$\vert A\vert = 6$，则$A^* = 6A^{-1}$。如果$\lambda$是矩阵$A^{-1}$的特征值，那么$6\lambda$是矩阵$A^*$的特征值。已知$A^{-1}$的特征值为$1$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，则$A^*$的特征值为：
$6 \cdot 1, 6 \cdot \frac{1}{2}, 6 \cdot \frac{1}{3} \quad \text{即} \quad 6, 3, 2$