11.设 gt bgt 0, 证明:-|||-dfrac (a-b)(a)lt ln dfrac (a)(b)lt dfrac (a-b)(b)

步骤 1：引入变量
令 $x = \frac{a}{b}$，由于 $a > b > 0$，则 $x > 1$。
步骤 2：证明不等式左侧
考虑函数 $f(x) = \ln x - \frac{x-1}{x}$，其中 $x > 1$。
计算 $f(x)$ 的导数：$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x-1}{x^2}$。
由于 $x > 1$，则 $f'(x) > 0$，所以 $f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上单调递增。
因此，$f(x) > f(1) = 0$，即 $\ln x > \frac{x-1}{x}$。
步骤 3：证明不等式右侧
考虑函数 $g(x) = \ln x - \frac{x-1}{1}$，其中 $x > 1$。
计算 $g(x)$ 的导数：$g'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$。
由于 $x > 1$，则 $g'(x) < 0$，所以 $g(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上单调递减。
因此，$g(x) < g(1) = 0$，即 $\ln x < x - 1$。
步骤 4：将变量代回
将 $x = \frac{a}{b}$ 代回，得到 $\frac{a-b}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}$。