题目
（1）已知'((e)^x)=x(e)^-x __且'((e)^x)=x(e)^-x __，则'((e)^x)=x(e)^-x _________.
（1）已知
且
，则
_______.
题目解答
答案
解：令
，则
，于是有
，即
，对等式两边积分得：
，根据初始条件，得
，因此所求函数为
，故填
解析
步骤 1：变量替换
令$u={e}^{x}$，则$x=\ln u$，于是有$f'(u)=\ln u \cdot {u}^{-1}$，即$f'(x)=\ln x \cdot {x}^{-1}$。
步骤 2：积分求解
对等式两边积分得：$f(x)=\int \ln x \cdot {x}^{-1}dx$。利用分部积分法，设$u=\ln x$，$dv={x}^{-1}dx$，则$du=\dfrac{1}{x}dx$，$v=\ln x$。因此，$f(x)=\int \ln x \cdot {x}^{-1}dx=\dfrac{1}{2}{(\ln x)}^{2}+C$。
步骤 3：确定常数C
根据初始条件$f(1)=0$，代入$x=1$，得$0=\dfrac{1}{2}{(\ln 1)}^{2}+C$，即$C=0$。
令$u={e}^{x}$，则$x=\ln u$，于是有$f'(u)=\ln u \cdot {u}^{-1}$，即$f'(x)=\ln x \cdot {x}^{-1}$。
步骤 2：积分求解
对等式两边积分得：$f(x)=\int \ln x \cdot {x}^{-1}dx$。利用分部积分法，设$u=\ln x$，$dv={x}^{-1}dx$，则$du=\dfrac{1}{x}dx$，$v=\ln x$。因此，$f(x)=\int \ln x \cdot {x}^{-1}dx=\dfrac{1}{2}{(\ln x)}^{2}+C$。
步骤 3：确定常数C
根据初始条件$f(1)=0$，代入$x=1$，得$0=\dfrac{1}{2}{(\ln 1)}^{2}+C$，即$C=0$。