设曲线C的方程为^2y-x(y)^2=2，试找出C上有水平切线和铅直切线的点。

考查要点：本题主要考查隐函数求导的应用，以及如何通过导数确定曲线上的水平切线和铅直切线的点。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对曲线方程两边关于$x$求导，得到$\frac{dy}{dx}$的表达式。
2. 水平切线条件：当$\frac{dy}{dx}=0$时，分子为$0$，解方程并结合原方程求点。
3. 铅直切线条件：当$\frac{dy}{dx}$不存在时，分母为$0$，解方程并结合原方程求点。

破题关键点：

• 正确求导：注意乘积法则和链式法则的应用。
• 分类讨论：分别处理分子为$0$（水平切线）和分母为$0$（铅直切线）的情况。
• 代入验证：将解代入原方程，排除无解的情况。

1. 隐函数求导

对原方程$x^{2}y - xy^{2} = 2$两边关于$x$求导：
$\begin{aligned}\frac{d}{dx}(x^{2}y) - \frac{d}{dx}(xy^{2}) &= \frac{d}{dx}(2) \\2xy + x^{2}\frac{dy}{dx} - \left( y^{2} + 2xy\frac{dy}{dx} \right) &= 0 \\x^{2}\frac{dy}{dx} - 2xy\frac{dy}{dx} &= -2xy + y^{2} \\\frac{dy}{dx}(x^{2} - 2xy) &= y^{2} - 2xy \\\frac{dy}{dx} &= \frac{y^{2} - 2xy}{x^{2} - 2xy}.\end{aligned}$

2. 水平切线的点

当$\frac{dy}{dx} = 0$时，分子$y^{2} - 2xy = 0$，即：
$y(y - 2x) = 0 \implies y = 0 \text{ 或 } y = 2x.$

• 若$y = 0$：代入原方程$x^{2} \cdot 0 - x \cdot 0^{2} = 0 \neq 2$，无解。
• 若$y = 2x$：代入原方程：
  $x^{2}(2x) - x(2x)^{2} = 2x^{3} - 4x^{3} = -2x^{3} = 2 \implies x^{3} = -1 \implies x = -1.$
  对应$y = 2(-1) = -2$，故水平切线点为$(-1, -2)$。

3. 铅直切线的点

当$\frac{dy}{dx}$不存在时，分母$x^{2} - 2xy = 0$，即：
$x(x - 2y) = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } x = 2y.$

• 若$x = 0$：代入原方程$0^{2} \cdot y - 0 \cdot y^{2} = 0 \neq 2$，无解。
• 若$x = 2y$：代入原方程：
  $(2y)^{2}y - 2y \cdot y^{2} = 4y^{3} - 2y^{3} = 2y^{3} = 2 \implies y^{3} = 1 \implies y = 1.$
  对应$x = 2 \cdot 1 = 2$，故铅直切线点为$(2, 1)$。