题目
若函数z=2x^2+2y^2+3xy+ax+by+c在点(-2,3)处取得极小值-3，则abc=().A. 30B. 40C. 28D. 32
若函数$z=2x^2+2y^2+3xy+ax+by+c$在点$(-2,3)$处取得极小值$-3$，则$abc=$().
A. 30
B. 40
C. 28
D. 32
题目解答
答案
A. 30
解析
步骤 1：计算偏导数
计算函数 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，得到：
\[ z_x = 4x + 3y + a \]
\[ z_y = 4y + 3x + b \]
步骤 2：设偏导数在点 $(-2, 3)$ 处为零
将点 $(-2, 3)$ 代入偏导数，得到：
\[ z_x(-2, 3) = 4(-2) + 3(3) + a = -8 + 9 + a = 1 + a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \]
\[ z_y(-2, 3) = 4(3) + 3(-2) + b = 12 - 6 + b = 6 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -6 \]
步骤 3：计算 $c$
将 $a$、$b$ 及点 $(-2, 3)$ 代入原函数求 $c$：
\[ z(-2, 3) = 2(-2)^2 + 2(3)^2 + 3(-2)(3) + (-1)(-2) + (-6)(3) + c \]
\[ = 8 + 18 - 18 + 2 - 18 + c = -3 \]
\[ \Rightarrow c = 5 \]
步骤 4：计算 $abc$
\[ abc = (-1) \times (-6) \times 5 = 30 \]
计算函数 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，得到：
\[ z_x = 4x + 3y + a \]
\[ z_y = 4y + 3x + b \]
步骤 2：设偏导数在点 $(-2, 3)$ 处为零
将点 $(-2, 3)$ 代入偏导数，得到：
\[ z_x(-2, 3) = 4(-2) + 3(3) + a = -8 + 9 + a = 1 + a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \]
\[ z_y(-2, 3) = 4(3) + 3(-2) + b = 12 - 6 + b = 6 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -6 \]
步骤 3：计算 $c$
将 $a$、$b$ 及点 $(-2, 3)$ 代入原函数求 $c$：
\[ z(-2, 3) = 2(-2)^2 + 2(3)^2 + 3(-2)(3) + (-1)(-2) + (-6)(3) + c \]
\[ = 8 + 18 - 18 + 2 - 18 + c = -3 \]
\[ \Rightarrow c = 5 \]
步骤 4：计算 $abc$
\[ abc = (-1) \times (-6) \times 5 = 30 \]