题目
10.4 如题10.4图所示,载有电流I的长直导线附近,放一导体半圆环MeN与长直导线共面,且端点-|||-MN的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b,环心O与导线相距a,设半圆环以速度v平行导线平移,求-|||-半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压 _(M)-(U)_(N).-|||-A v-|||-e-|||-b-|||-1 M N-|||-a-|||-题10.4图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁场分布
长直导线产生的磁场可以用毕奥-萨伐尔定律计算，对于距离导线为r的点，磁场大小为$B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，方向垂直于电流和半圆环平面。
步骤 2：计算半圆环内感应电动势
半圆环以速度v平行导线平移，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势大小为$E=\int_{半圆环} \vec{v} \times \vec{B} \cdot d\vec{l}$。由于半圆环的半径为b，环心O与导线相距a，所以半圆环上各点到导线的距离为r=a+b\cos\theta，其中\theta为半圆环上点到环心O的连线与导线的夹角。因此，感应电动势大小为$E=\int_{0}^{\pi} \dfrac{{\mu }_{0}Iv}{2\pi (a+b\cos\theta)}b\sin\theta d\theta$。
步骤 3：计算MN两端的电压
MN两端的电压等于半圆环内感应电动势的大小，方向从M指向N，因为半圆环上的感应电动势方向与半圆环的运动方向相反，所以MN两端的电压为${U}_{M}-{U}_{N}$。
长直导线产生的磁场可以用毕奥-萨伐尔定律计算，对于距离导线为r的点，磁场大小为$B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，方向垂直于电流和半圆环平面。
步骤 2：计算半圆环内感应电动势
半圆环以速度v平行导线平移，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势大小为$E=\int_{半圆环} \vec{v} \times \vec{B} \cdot d\vec{l}$。由于半圆环的半径为b，环心O与导线相距a，所以半圆环上各点到导线的距离为r=a+b\cos\theta，其中\theta为半圆环上点到环心O的连线与导线的夹角。因此，感应电动势大小为$E=\int_{0}^{\pi} \dfrac{{\mu }_{0}Iv}{2\pi (a+b\cos\theta)}b\sin\theta d\theta$。
步骤 3：计算MN两端的电压
MN两端的电压等于半圆环内感应电动势的大小，方向从M指向N，因为半圆环上的感应电动势方向与半圆环的运动方向相反，所以MN两端的电压为${U}_{M}-{U}_{N}$。