题目
10.判断题设随机变量X_(1),...,X_(n)相互独立,且服从同一分布N(0,1),则(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)^2simchi^2(n).A. 对B. 错
10.判断题
设随机变量$X_{1},\cdots,X_{n}$相互独立,且服从同一分布$N(0,1)$,则$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\sim\chi^{2}(n).$
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解卡方分布的定义
卡方分布（$\chi^2$分布）是统计学中的一种连续概率分布，通常用于描述独立标准正态随机变量平方和的分布。如果$X \sim N(0,1)$，则$X^2$服从自由度为1的卡方分布，即$X^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 2：应用卡方分布的可加性
如果$X_1, X_2, \ldots, X_n$是相互独立且服从$N(0,1)$的随机变量，则$X_i^2$服从自由度为1的卡方分布，即$X_i^2 \sim \chi^2(1)$。根据卡方分布的可加性，$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$服从自由度为$n$的卡方分布，即$\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$。
步骤 3：分析题目中的表达式
题目中的表达式是$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$。虽然$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$服从自由度为$n$的卡方分布，但当除以$n$时，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$的分布不再是自由度为$n$的卡方分布，因为卡方分布不具有尺度不变性。因此，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$的分布不再是$\chi^2(n)$。
卡方分布（$\chi^2$分布）是统计学中的一种连续概率分布，通常用于描述独立标准正态随机变量平方和的分布。如果$X \sim N(0,1)$，则$X^2$服从自由度为1的卡方分布，即$X^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 2：应用卡方分布的可加性
如果$X_1, X_2, \ldots, X_n$是相互独立且服从$N(0,1)$的随机变量，则$X_i^2$服从自由度为1的卡方分布，即$X_i^2 \sim \chi^2(1)$。根据卡方分布的可加性，$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$服从自由度为$n$的卡方分布，即$\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$。
步骤 3：分析题目中的表达式
题目中的表达式是$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$。虽然$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$服从自由度为$n$的卡方分布，但当除以$n$时，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$的分布不再是自由度为$n$的卡方分布，因为卡方分布不具有尺度不变性。因此，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$的分布不再是$\chi^2(n)$。