题目
设函数 f(x)= ^2)(int )_(0)^xtan xdt xlt 0 1 x=0 dfrac (1)({x)^2}(int )_(0)^xsin tdt xgt 0 .-|||-x=0,则f(x)在 x=0 处 () .A.连续B.极限存在，但不连续C.左极限存在，但右极限不存在 D.右极限存在，但左极限不存在
A.连续
B.极限存在，但不连续
C.左极限存在，但右极限不存在
D.右极限存在，但左极限不存在
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：计算左极限
当 $x < 0$ 时，$f(x) = \dfrac{1}{x^2} \int_{0}^{x} \sin t \, dt$。利用分部积分法，我们有：
$$
\int_{0}^{x} \sin t \, dt = -\cos t \Big|_{0}^{x} = -\cos x + 1
$$
因此，
$$
f(x) = \dfrac{1}{x^2} (-\cos x + 1)
$$
当 $x \to 0^{-}$ 时，$f(x) \to \dfrac{1}{0^2} (1 - 1) = 0$，即左极限为 $0$。
步骤 2：计算右极限
当 $x > 0$ 时，$f(x) = \dfrac{1}{x^2} \int_{0}^{x} \sin t \, dt$。同样利用分部积分法，我们有：
$$
\int_{0}^{x} \sin t \, dt = -\cos t \Big|_{0}^{x} = -\cos x + 1
$$
因此，
$$
f(x) = \dfrac{1}{x^2} (-\cos x + 1)
$$
当 $x \to 0^{+}$ 时，$f(x) \to \dfrac{1}{0^2} (1 - 1) = 0$，即右极限为 $0$。
步骤 3：判断连续性
由于 $f(0) = 1$，而左极限和右极限都为 $0$，所以 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续，但极限存在。
当 $x < 0$ 时，$f(x) = \dfrac{1}{x^2} \int_{0}^{x} \sin t \, dt$。利用分部积分法，我们有：
$$
\int_{0}^{x} \sin t \, dt = -\cos t \Big|_{0}^{x} = -\cos x + 1
$$
因此，
$$
f(x) = \dfrac{1}{x^2} (-\cos x + 1)
$$
当 $x \to 0^{-}$ 时，$f(x) \to \dfrac{1}{0^2} (1 - 1) = 0$，即左极限为 $0$。
步骤 2：计算右极限
当 $x > 0$ 时，$f(x) = \dfrac{1}{x^2} \int_{0}^{x} \sin t \, dt$。同样利用分部积分法，我们有：
$$
\int_{0}^{x} \sin t \, dt = -\cos t \Big|_{0}^{x} = -\cos x + 1
$$
因此，
$$
f(x) = \dfrac{1}{x^2} (-\cos x + 1)
$$
当 $x \to 0^{+}$ 时，$f(x) \to \dfrac{1}{0^2} (1 - 1) = 0$，即右极限为 $0$。
步骤 3：判断连续性
由于 $f(0) = 1$，而左极限和右极限都为 $0$，所以 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续，但极限存在。