(20)(本题满分11分)-|||-设三阶矩阵 =[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3)] 有3个不同的特征值,且 _(3)=(a)_(1)+2(a)_(2)-|||-(I)证明 (A)=2;-|||-(Ⅱ)若 beta =(a)_(1)+(a)_(2)+(a)_(3), 求方程组 =beta 的通解.

考查要点：本题主要考查矩阵的秩、特征值与特征向量的关系，以及非齐次线性方程组的通解结构。

解题思路：

1. 第一问：通过列向量线性相关得出矩阵秩小于3，结合特征值的性质（存在零特征值且其他特征值非零）确定秩为2。
2. 第二问：利用非齐次方程解的结构，找到特解和齐次方程的基础解系，组合得到通解。

破题关键：

• 秩与特征值的关系：矩阵的秩等于非零特征值的代数重数之和。
• 线性相关性：列向量线性相关导致秩不足，结合特征值的个数确定秩。
• 通解结构：特解加齐次方程的通解。

(I) 证明 $r(A)=2$

分析列向量线性相关性

由题意，$a_3 = a_1 + 2a_2$，说明列向量 $a_1, a_2, a_3$ 线性相关，因此矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$，即 $0$ 是 $A$ 的一个特征值。

结合特征值性质

题目指出 $A$ 有 3个不同的特征值，设为 $\lambda_1, \lambda_2, 0$（其中 $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0$）。由于 $A$ 可对角化（不同特征值对应线性无关的特征向量），非零特征值的个数对应矩阵的秩，故 $r(A) = 2$。

(II) 求方程组 $Ax = \beta$ 的通解

寻找特解

由 $\beta = a_1 + a_2 + a_3$，代入 $a_3 = a_1 + 2a_2$ 得：
$\beta = a_1 + a_2 + (a_1 + 2a_2) = 2a_1 + 3a_2.$
取 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，验证得：
$A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = a_1 + a_2 + a_3 = \beta,$
故 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是 特解。

求齐次方程的基础解系

由 $a_3 = a_1 + 2a_2$ 得线性关系 $a_1 + 2a_2 - a_3 = 0$，对应齐次方程 $Ax=0$ 的解为：
$x = k \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}.$

组合通解

非齐次方程的通解为特解加齐次解：
$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}.$