设α1，α2，α3，β均是三维向量，则下列命题中正确的是()①若β不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3必定线性相关；②若β不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3必定线性无关；③若α1，α2，α3线性相关，则β必可由α1，α2，α3线性表示；④若α1，α2，α3线性无关，则β必可由α1，α2，α3线性表示。A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④

考查要点：本题主要考查三维向量组的线性相关性与线性表示之间的关系，涉及线性相关性的判定、向量组秩的性质以及线性组合的存在性条件。

解题核心思路：

1. 三维空间中向量组的秩：三维向量最多线性无关的个数为3，超过3个向量必然线性相关。
2. 线性表示与线性相关的关系：若向量$\beta$不能被向量组$\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$线性表示，则增广向量组$\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta\}$的秩等于原向量组的秩，从而原向量组必须线性相关。
3. 线性无关组的张成性：若$\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$线性无关，则它们构成三维空间的一组基，可张成整个空间，因此任何三维向量$\beta$均可被线性表示。

破题关键点：

• 利用向量组秩的性质：通过分析向量组的秩变化判断线性相关性。
• 构造反例验证命题：通过具体例子说明命题③的不成立。

命题①分析

若$\beta$不能由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性表示，则增广向量组$\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta\}$的秩等于原向量组$\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$的秩。由于三维空间中四个向量必然线性相关，存在非零系数$k_1, k_2, k_3, k$使得：
$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k\beta = 0$
若$\beta$不能被线性表示，则$k=0$，从而$k_1, k_2, k_3$不全为零，说明$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性相关。①正确。

命题②分析

命题②与①矛盾，若$\beta$不能被线性表示，则$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$必线性相关，因此②错误。

命题③分析

即使$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性相关，$\beta$也可能无法被它们线性表示。例如：
$\alpha_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \beta = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
此时$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性相关，但$\beta$不在它们张成的平面内，无法被表示。③错误。

命题④分析

若$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，则它们构成三维空间的一组基，任何三维向量$\beta$均可被唯一表示为它们的线性组合。④正确。