题目

11.若函数f(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且f''(x)>0,又lim_(xto0)(f(x))/(x)=1,证明：f(x)≥x,x∈(-∞,+∞).

11.若函数f(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且f''(x)>0,又$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$,证明：f(x)≥x,x∈(-∞,+∞).

题目解答

答案

由题意，函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内具有二阶导数，且 $ f''(x) > 0 $，说明 $ f'(x) $ 单调递增。此外，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$ 表明 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处可导，且 $ f(0) = 0 $，$ f'(0) = 1 $。

根据泰勒公式，将 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处展开：
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(\xi)}{2}x^2$
其中 $ \xi $ 介于 $ 0 $ 和 $ x $ 之间。由于 $ f(0) = 0 $，$ f'(0) = 1 $，且 $ f''(\xi) > 0 $，代入得：
$f(x) = x + \frac{f''(\xi)}{2}x^2 \geq x$
等号成立当且仅当 $ x = 0 $。因此，对于所有 $ x \in (-\infty, +\infty) $，均有 $ f(x) \geq x $。

结论： $ f(x) \geq x $ 对所有 $ x $ 成立。

解析

本题考查函数的导数性质、泰勒公式的应用以及不等式的证明。解题的关键思路是先根据已知极限条件求出函数在$x = 0$处的函数值和导数值，再利用泰勒公式将函数展开，最后结合二阶导数的性质证明不等式。

  1. 根据极限条件求$f(0)$和$f^\prime(0)$的值：
    • 已知$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，因为分母$x\to0$，要使该极限存在且等于$1$，则分子$f(x)$也必须趋于$0$，即$\lim_{x\to0}f(x)=0$。
    • 又因为函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内具有二阶导数，所以$f(x)$在$x = 0$处连续，根据连续函数的性质$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，可得$f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=0$。
    • 根据导数的定义$f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}$，将$f(0)=0$代入可得$f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$。
  2. 利用泰勒公式展开$f(x)$：
    • 泰勒公式为$f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x - x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(x - x_0)^2$，其中$\xi$介于$x_0$和$x$之间。
    • 令$x_0 = 0$，则$f(x)=f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2}x^2$，其中$\xi$介于$0$和$x$之间。
  3. 结合已知条件证明不等式：
    • 将$f(0)=0$，$f^\prime(0)=1$代入上式可得$f(x)=x+\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2}x^2$。
    • 已知$f^{\prime\prime}(x)>0$，因为$\xi$介于$0$和$x$之间，所以$f^{\prime\prime}(\xi)>0$，又因为$x^2\geq0$，所以$\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2}x^2\geq0$。
    • 那么$f(x)=x+\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2}x^2\geq x$，等号成立当且仅当$x = 0$。