题目
当时, 以下函数不是无穷小量的是A、B、C、D、
当
时, 以下函数不是无穷小量的是
A、
B、
C、
D、
题目解答
答案
答案:选C
∵当
时
∴


∴



故,当
时,
不是无穷小量
解析
考查要点:本题主要考查无穷小量的定义及常见函数在$x \to 0$时的极限性质。
解题核心思路:判断每个选项在$x \to 0$时的极限是否为0。若极限不为0,则该函数不是无穷小量。
破题关键点:
- 无穷小量的定义:当$x \to 0$时,函数值无限趋近于0。
- 基本函数的极限性质:如$\sin x \sim x$,$\tan x \sim x$,$\cos x \to 1$,需结合泰勒展开或直接代入判断。
选项分析:
-
选项A:$x - \sin x$
当$x \to 0$时,$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$,因此:
$x - \sin x \approx x - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = \frac{x^3}{6} \to 0.$
极限为0,是无穷小量。 -
选项B:$x - \tan x$
当$x \to 0$时,$\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$,因此:
$x - \tan x \approx x - \left(x + \frac{x^3}{3}\right) = -\frac{x^3}{3} \to 0.$
极限为0,是无穷小量。 -
选项C:$x - \cos x$
当$x \to 0$时,$\cos x \to 1$,因此:
$x - \cos x \to 0 - 1 = -1.$
极限为-1,不是无穷小量。 -
选项D:$1 - \cos x$
当$x \to 0$时,$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$,因此:
$1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2} \to 0.$
极限为0,是无穷小量。