题目

设 F(x) = int_(0)^x tf(x^2-t^2) , dt, f(x) 在 x=0 某邻域内可导，且 f(0)=0, f'(0)=1，则 lim_(x to 0) (F(x))/(x^4)=

设 $F(x) = \int_{0}^{x} tf(x^2-t^2) \, dt, f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内可导，且 $f(0)=0, f'(0)=1$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^4}=$

题目解答

答案

我们要求的是极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^4}$

其中函数 $ F(x) $ 定义为：

$F(x) = \int_{0}^{x} t f(x^2 - t^2) \, dt$

第一步：变量替换

为了简化积分，我们尝试对积分变量进行替换。

令：
$u = x^2 - t^2 \Rightarrow t^2 = x^2 - u$

对 $ t $ 求导：

$2t \, dt = -du \Rightarrow dt = -\frac{du}{2t}$

积分上下限：

  • 当 $ t = 0 $，$ u = x^2 $
  • 当 $ t = x $，$ u = x^2 - x^2 = 0 $

代入原积分：

$F(x) = \int_{t=0}^{t=x} t f(x^2 - t^2) \, dt = \int_{u=x^2}^{u=0} t f(u) \left(-\frac{du}{2t}\right)$

注意积分上下限调换后，负号消失，得到：

$F(x) = \int_{u=0}^{u=x^2} \frac{f(u)}{2} \, du$

所以：

$F(x) = \frac{1}{2} \int_{0}^{x^2} f(u) \, du$

第二步：求极限

我们要求的是：

$\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x^4} \int_{0}^{x^2} f(u) \, du$

令：

$I(x) = \int_{0}^{x^2} f(u) \, du$

我们对这个积分应用洛必达法则（因为分子分母都趋于 0）。

先对 $ I(x) $ 求导：

$I'(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} f(u) \, du = f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x f(x^2)$

所以：

$\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x^4} \int_{0}^{x^2} f(u) \, du = \lim_{x \to 0} \frac{I(x)}{2x^4}$

对这个极限应用洛必达法则（因为分子分母都趋于 0）：

$\lim_{x \to 0} \frac{I(x)}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{I'(x)}{8x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2x f(x^2)}{8x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{4x^2}$

再令 $ u = x^2 $，当 $ x \to 0 $ 时，$ u \to 0 $，所以：

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{4x^2} = \lim_{u \to 0} \frac{f(u)}{4u}$

由题设条件：

  • $ f(0) = 0 $
  • $ f'(0) = 1 $

所以：

$\lim_{u \to 0} \frac{f(u)}{u} = f'(0) = 1$

因此：

$\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^4} = \frac{1}{4}$

✅ 最终答案：

$\boxed{\frac{1}{4}}$

解析

考查要点：本题主要考查变上限积分的求导、变量替换法简化积分表达式，以及利用洛必达法则求解极限的能力。关键在于通过变量替换将原积分转化为更易处理的形式，并结合导数定义求解极限。

解题思路：

  1. 变量替换：通过令$u = x^2 - t^2$，将原积分转化为关于$u$的积分，简化被积函数。
  2. 积分变换：利用变量替换后的积分表达式，将原积分转化为$\frac{1}{2}\int_{0}^{x^2} f(u) \, du$。
  3. 洛必达法则：对极限形式$\frac{\int_{0}^{x^2} f(u) \, du}{x^4}$应用两次洛必达法则，结合$f(0)=0$和$f'(0)=1$的条件，最终化简得到结果。

破题关键：

  • 变量替换简化积分是核心步骤，需注意积分上下限的变化。
  • 导数定义的应用：当$u \to 0$时，$\frac{f(u)}{u} \to f'(0)$。

变量替换简化积分

令$u = x^2 - t^2$，则$t^2 = x^2 - u$，对$t$求导得：
$2t \, dt = -du \quad \Rightarrow \quad dt = -\frac{du}{2t}.$
积分上下限变换：

  • 当$t=0$时，$u = x^2$；
  • 当$t=x$时，$u = 0$。

代入原积分：
$\begin{aligned}F(x) &= \int_{0}^{x} t f(x^2 - t^2) \, dt \\&= \int_{x^2}^{0} t f(u) \left(-\frac{du}{2t}\right) \\&= \frac{1}{2} \int_{0}^{x^2} f(u) \, du.\end{aligned}$

应用洛必达法则求极限

目标极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x^4} \int_{0}^{x^2} f(u) \, du.$
令$I(x) = \int_{0}^{x^2} f(u) \, du$，则：
$I'(x) = 2x f(x^2).$
第一次应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \frac{I(x)}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{I'(x)}{8x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2x f(x^2)}{8x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{4x^2}.$
令$u = x^2$，当$x \to 0$时，$u \to 0$，则：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{4x^2} = \lim_{u \to 0} \frac{f(u)}{4u}.$
根据$f(0)=0$和$f'(0)=1$，利用导数定义：
$\lim_{u \to 0} \frac{f(u)}{u} = f'(0) = 1.$
因此，最终极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^4} = \frac{1}{4}.$