题目
3.把下列函数在指定的圆环域内展开为洛朗级数:-|||-(1) dfrac (1+2z)(({z)^2+1)(z-2)} https:/img.zuoyebang.cc/zyb_41d83bbff624efd82a285864b6d41680.jpglt |z|lt 2;-|||-(2) dfrac (1)({z)^2(z-1)} 在圆环域 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_41d83bbff624efd82a285864b6d41680.jpglt |z-1|lt +infty 内展开;-|||-(3) (e)^dfrac (1{z-1)} ,lt |z-1|lt +infty ,
题目解答
答案
解析
步骤 1：部分分式分解
首先，将给定的函数 $\dfrac {1+2z}{({z}^{2}+1)(z-2)}$ 进行部分分式分解。由于分母可以分解为 $(z^2+1)(z-2)$，我们设：
$$\dfrac {1+2z}{({z}^{2}+1)(z-2)} = \dfrac{A}{z-i} + \dfrac{B}{z+i} + \dfrac{C}{z-2}$$
其中 $i$ 是虚数单位。通过比较系数，可以求出 $A$、$B$ 和 $C$ 的值。
步骤 2：求解系数
将上述等式两边乘以 $(z^2+1)(z-2)$，得到：
$$1+2z = A(z+i)(z-2) + B(z-i)(z-2) + C(z^2+1)$$
通过代入 $z=i$、$z=-i$ 和 $z=2$，可以分别求出 $A$、$B$ 和 $C$ 的值：
$$A = \dfrac{1+2i}{(i^2+1)(i-2)} = \dfrac{1+2i}{2(i-2)}$$
$$B = \dfrac{1-2i}{((-i)^2+1)(-i-2)} = \dfrac{1-2i}{2(-i-2)}$$
$$C = \dfrac{1+2(2)}{(2^2+1)(2-2)} = 1$$
步骤 3：展开为洛朗级数
在圆环域 $1\lt |z|\lt 2$ 内，将每个部分分式展开为洛朗级数。由于 $|z|>1$，可以将 $\dfrac{1}{z-i}$ 和 $\dfrac{1}{z+i}$ 展开为负幂级数，而 $\dfrac{1}{z-2}$ 可以直接展开为正幂级数。具体展开如下：
$$\dfrac{1}{z-i} = \dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{i}{z}} = \dfrac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{z}\right)^n$$
$$\dfrac{1}{z+i} = \dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{i}{z}} = \dfrac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{i}{z}\right)^n$$
$$\dfrac{1}{z-2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{z}{2}} = \dfrac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^n$$
将上述级数代入原函数的展开式中，即可得到洛朗级数的表达式。
首先，将给定的函数 $\dfrac {1+2z}{({z}^{2}+1)(z-2)}$ 进行部分分式分解。由于分母可以分解为 $(z^2+1)(z-2)$，我们设：
$$\dfrac {1+2z}{({z}^{2}+1)(z-2)} = \dfrac{A}{z-i} + \dfrac{B}{z+i} + \dfrac{C}{z-2}$$
其中 $i$ 是虚数单位。通过比较系数，可以求出 $A$、$B$ 和 $C$ 的值。
步骤 2：求解系数
将上述等式两边乘以 $(z^2+1)(z-2)$，得到：
$$1+2z = A(z+i)(z-2) + B(z-i)(z-2) + C(z^2+1)$$
通过代入 $z=i$、$z=-i$ 和 $z=2$，可以分别求出 $A$、$B$ 和 $C$ 的值：
$$A = \dfrac{1+2i}{(i^2+1)(i-2)} = \dfrac{1+2i}{2(i-2)}$$
$$B = \dfrac{1-2i}{((-i)^2+1)(-i-2)} = \dfrac{1-2i}{2(-i-2)}$$
$$C = \dfrac{1+2(2)}{(2^2+1)(2-2)} = 1$$
步骤 3：展开为洛朗级数
在圆环域 $1\lt |z|\lt 2$ 内，将每个部分分式展开为洛朗级数。由于 $|z|>1$，可以将 $\dfrac{1}{z-i}$ 和 $\dfrac{1}{z+i}$ 展开为负幂级数，而 $\dfrac{1}{z-2}$ 可以直接展开为正幂级数。具体展开如下：
$$\dfrac{1}{z-i} = \dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{i}{z}} = \dfrac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{z}\right)^n$$
$$\dfrac{1}{z+i} = \dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{i}{z}} = \dfrac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{i}{z}\right)^n$$
$$\dfrac{1}{z-2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{z}{2}} = \dfrac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^n$$
将上述级数代入原函数的展开式中，即可得到洛朗级数的表达式。