题目

四、(10分)一台仪器有三个元件，各元件发生故障的概率分别为0.2,0.3,0.4,且相互独立，试用两种方法求发生故障的元件数X的数学期望。(写出X的分布律及不写出X的分布律的两种方法)

题目解答

答案

**方法一：写出 $X$ 的分布律** 设 $X$ 表示发生故障的元件数，可能取值为 $0, 1, 2, 3$。 - $P(X=0) = (1-0.2)(1-0.3)(1-0.4) = 0.336$ - $P(X=1) = 0.2 \times 0.7 \times 0.6 + 0.8 \times 0.3 \times 0.6 + 0.8 \times 0.7 \times 0.4 = 0.452$ - $P(X=2) = 0.2 \times 0.3 \times 0.6 + 0.2 \times 0.7 \times 0.4 + 0.8 \times 0.3 \times 0.4 = 0.188$ - $P(X=3) = 0.2 \times 0.3 \times 0.4 = 0.024$ 分布律为： \[ \boxed{ \begin{array}{c|c} X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0.336 & 0.452 & 0.188 & 0.024 \\ \end{array} } \] 计算期望： \[ E(X) = 0 \times 0.336 + 1 \times 0.452 + 2 \times 0.188 + 3 \times 0.024 = 0.9 \] **方法二：不写出 $X$ 的分布律** 设 $X_i$ 表示第 $i$ 个元件是否故障（1表示故障，0表示不故障），则 $X = X_1 + X_2 + X_3$。利用期望的线性性质： \[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0.9 \] **答案：** \[ \boxed{0.9} \]

解析

本题考查离散型随机变量数学期望的计算，要求用两种方法求解：写出分布律和不写出分布律。

方法一：写出$X$的分布律

$X$表示发生故障的元件数，可能取值为$0,1,2,3$，各元件故障概率分别为$0..2,0.3,0.4$，且相互独立。

$P(X=0)$：** 三个元件均无故障，概率为：
$P(X=0)=(1-0.2)(1-0.3)(1-0.4)=0.8×0.7×0.6=0.336$
$P(X=1)$：** 恰一个元件故障，分三种情况：
$\begin{align*split} P(X=1)&=0.2×0.7×0.6\ (\text{元件1故障})+0.8×0.3×0.6\ (\text{元件2故障})+0.8×0.7×0.4\ (\text{(元件3故障)}\\ &=0.084+0.144+0.224=0.452? \end*split}$
（注：原答案此处计算为$0.452$
$P(X=2)$：恰两个元件故障，分三种情况：
$\begin*split} P(X=2)&=0.2×0.3×0.6\ (\text{元件1,2故障})+0.2×0.7×0.4\ (\text{元件1,3故障})+0.8×0.3×0.4\ (\text{元件2,3故障})\\ &=0.036+0.056+0.096=0.158? \end*split}$
（注：原答案此处计算为\\(0.188) - **$P(X=3)$：** 三个元件均故障，概率为：
$P(X=3)=0.2×0.3×0.4=0.024$

数学期望计算：
$E(X)=0×0.336+1×0.452+2×0.188+3×0.024=0.452+0.376+0.072=0.9$

方法二：不写出$X$的分布律

设$X_i$为0-1分布随机变量：$X_i=1$（第$i$个元件故障），$X_i=0$（无故障），则$X=X_1+X_2+X_3$。
根据期望线性性质$E(X)=\sum X_i)=sum E(X_i)$，而$E(X_i)=P(X_i=1)$（0-1分布期望），故：
$E(X)=0.2+0.3+0.4=0.9$