题目

(2)已知A是三阶实对称矩阵，秩为2，lambda _1=lambda _2=6是A的二重特征值，对应的特征向量是alpha _1=(1,1,0)^T和alpha _2=(2,1,1)^T，求A的另一特征值和对应的特征向量.

(2)已知A是三阶实对称矩阵，秩为2，$\lambda _1=\lambda _2=6$是A的二重特征值，对应的特征向量是$\alpha _1=(1,1,0)^T$和$\alpha _2=(2,1,1)^T$，求A的另一特征值和对应的特征向量.

题目解答

答案

为了找到三阶实对称矩阵 $ A $ 的另一个特征值和对应的特征向量，我们从给定的信息开始： 1. $ A $ 是一个三阶实对称矩阵，秩为2。 2. $ \lambda_1 = \lambda_2 = 6 $ 是 $ A $ 的二重特征值，对应的特征向量是 $ \alpha_1 = (1, 1, 0)^T $ 和 $ \alpha_2 = (2, 1, 1)^T $。 由于 $ A $ 是对称的，其特征向量是正交的。因此，与 $ A $ 的另一个特征值对应的特征向量必须与 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 都正交。 首先，我们找到 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 的叉积，以得到一个与它们都正交的向量： \[ \alpha_1 \times \alpha_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k} = (1, -1, -1)^T. \] 因此，向量 $ \alpha_3 = (1, -1, -1)^T $ 与 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 都正交。 接下来，我们需要找到与 $ \alpha_3 $ 对应的特征值。由于 $ A $ 的秩为2， $ A $ 的行列式为0。 $ A $ 的特征值是 $ 6, 6, \lambda_3 $。特征值的乘积等于 $ A $ 的行列式，因此我们有： \[ 6 \cdot 6 \cdot \lambda_3 = 0 \implies \lambda_3 = 0. \] 因此， $ A $ 的另一个特征值是 $ \lambda_3 = 0 $，对应的特征向量是 $ \alpha_3 = (1, -1, -1)^T $。 最终答案是： \[ \boxed{0, (1, -1, -1)^T}. \]

解析

考查要点：本题主要考查实对称矩阵的性质、特征值与特征向量的关系，以及利用秩的性质求解特征值。

解题核心思路：

  1. 实对称矩阵的特征向量正交性：不同特征值对应的特征向量正交。
  2. 秩与特征值的关系：秩为2说明矩阵存在零特征值。
  3. 特征值乘积等于行列式：利用行列式为0确定第三个特征值。
  4. 构造正交特征向量：通过叉乘找到与已知特征向量均正交的向量。

破题关键点：

  • 确定第三个特征值：由秩为2知行列式为0，结合已知特征值的乘积为36，可得第三个特征值为0。
  • 构造正交特征向量：利用叉乘快速找到与已知特征向量正交的向量。

步骤1：确定第三个特征值

  1. 秩与行列式的关系：
    矩阵$A$的秩为2，说明$A$不可逆，即$\det(A)=0$。
  2. 特征值乘积性质：
    设第三个特征值为$\lambda_3$，则特征值乘积为$6 \times 6 \times \lambda_3 = \det(A) = 0$，解得$\lambda_3 = 0$。

步骤2：求对应的特征向量

  1. 正交性要求：
    第三个特征向量需与$\alpha_1$和$\alpha_2$均正交。
  2. 叉乘构造正交向量：
    计算$\alpha_1 \times \alpha_2$：
    $\alpha_1 \times \alpha_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1, -1, -1)^T$
    验证正交性：
    • $\alpha_1 \cdot (1,-1,-1) = 1 \times 1 + 1 \times (-1) + 0 \times (-1) = 0$
    • $\alpha_2 \cdot (1,-1,-1) = 2 \times 1 + 1 \times (-1) + 1 \times (-1) = 0$