题目
1.求下列微分方程的通解:-|||-(2) '+y=(x)^2+3x+2 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程改写成标准形式
原方程为 $xy' + y = x^2 + 3x + 2$，可以改写为 $y' + \frac{1}{x}y = x + 3 + \frac{2}{x}$。这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = x + 3 + \frac{2}{x}$。
步骤 2：求解积分因子
积分因子为 $e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{1}{x}dx} = e^{\ln|x|} = |x|$。由于 $x$ 在方程中作为系数，我们假设 $x > 0$，因此积分因子为 $x$。
步骤 3：乘以积分因子并求解
将方程两边乘以积分因子 $x$，得到 $xy' + y = x^2 + 3x + 2$。左边是 $(xy)'$，因此方程变为 $(xy)' = x^2 + 3x + 2$。对两边积分，得到 $xy = \int (x^2 + 3x + 2)dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C$。最后，解出 $y$，得到 $y = \frac{x^2}{3} + \frac{3x}{2} + 2 + \frac{C}{x}$。
原方程为 $xy' + y = x^2 + 3x + 2$，可以改写为 $y' + \frac{1}{x}y = x + 3 + \frac{2}{x}$。这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = x + 3 + \frac{2}{x}$。
步骤 2：求解积分因子
积分因子为 $e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{1}{x}dx} = e^{\ln|x|} = |x|$。由于 $x$ 在方程中作为系数，我们假设 $x > 0$，因此积分因子为 $x$。
步骤 3：乘以积分因子并求解
将方程两边乘以积分因子 $x$，得到 $xy' + y = x^2 + 3x + 2$。左边是 $(xy)'$，因此方程变为 $(xy)' = x^2 + 3x + 2$。对两边积分，得到 $xy = \int (x^2 + 3x + 2)dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C$。最后，解出 $y$，得到 $y = \frac{x^2}{3} + \frac{3x}{2} + 2 + \frac{C}{x}$。