[题目]求抛物线 ^2=2x 与直线 y=x-4 所围成图形-|||-的面积.

考查要点：本题主要考查利用定积分求平面图形的面积，涉及抛物线与直线的交点求解、积分区域的划分及积分计算。

解题核心思路：

1. 联立方程求交点：确定抛物线与直线的交点，得到积分上下限。
2. 分析曲线相对位置：在不同区间判断抛物线与直线的上下关系，划分积分区间。
3. 分段积分求面积：根据曲线相对位置，分别计算各区间面积并求和。

破题关键点：

• 交点计算：通过联立方程解得交点 $(2, -2)$ 和 $(8, 4)$。
• 积分区间划分：在 $x \in [0, 2]$ 时，抛物线上下两部分与直线围成封闭区域；在 $x \in [2, 8]$ 时，抛物线上半部分在直线上方。
• 积分表达式构建：分别对上下两部分的垂直距离积分，注意符号处理。

步骤1：求交点

联立 $\begin{cases} y^2 = 2x \\ y = x - 4 \end{cases}$，代入得 $(x-4)^2 = 2x$，解得 $x = 2$ 或 $x = 8$，对应 $y = -2$ 和 $y = 4$，交点为 $(2, -2)$ 和 $(8, 4)$。

步骤2：划分积分区间

• 区间 $[0, 2]$：抛物线的上半部分 $y = \sqrt{2x}$ 和下半部分 $y = -\sqrt{2x}$ 均与直线 $y = x - 4$ 形成封闭区域，面积为上下两部分的垂直距离之和。
• 区间 $[2, 8]$：抛物线上半部分 $y = \sqrt{2x}$ 在直线上方，面积为两者的垂直距离。

步骤3：分段积分

1. 积分 $[0, 2]$：
   $\int_{0}^{2} \left( \sqrt{2x} - (x - 4) \right) + \left( -\sqrt{2x} - (x - 4) \right) \, dx = \int_{0}^{2} 2\sqrt{2x} \, dx$
   计算得 $\frac{16}{3}$。

2. 积分 $[2, 8]$：
   $\int_{2}^{8} \left( \sqrt{2x} - (x - 4) \right) \, dx$
   计算得 $\frac{38}{3}$。

步骤4：求和

总面积 $S = \frac{16}{3} + \frac{38}{3} = 18$。