题目
设a 1-|||-(alpha )_(1)= a ,α2= (} a-1 a a-1 ) . ,α3= 1-|||-a a-1;
设
,
可由 
线性表示并且表示方法唯一，则
的值为（）
A , 
;
B . 
;
C . 
且 
.
D . 或 ;
题目解答
答案
由题设可知
；
由于 可由 线性表示并且表示方法唯一，即非齐次线性方程组
有解，因此，
，则
,解得
故答案为B。
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵$({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},\beta )$，其中$\beta$是目标向量，${\alpha }_{1}$,${\alpha }_{2}$,${\alpha }_{3}$是给定的向量。增广矩阵为：
$$
\left (\begin{matrix} a& a-1& 1& 1\\ a& a& 1& 2\\ a& a-1& a-1& 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，目的是化简矩阵，使其更容易分析。进行以下变换：
- ${T}_{3}-{T}_{1}$：第三行减去第一行
- ${T}_{2}-{T}_{1}$：第二行减去第一行
变换后的矩阵为：
$$
\left (\begin{matrix} a& a-1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& a-2& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：分析矩阵的秩
由于$\beta$可由${\alpha }_{1}$,${\alpha }_{2}$,${\alpha }_{3}$线性表示且表示方法唯一，这意味着非齐次线性方程组$x_{1}{\alpha }_{1}+x_{2}{\alpha }_{2}+x_{3}{\alpha }_{3}=\beta$有唯一解。因此，矩阵$({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},\beta )$的秩等于矩阵$({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3})$的秩。观察变换后的矩阵，可以发现当$a-2=0$时，矩阵的秩为3，满足条件。因此，$a=2$。
构造增广矩阵$({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},\beta )$，其中$\beta$是目标向量，${\alpha }_{1}$,${\alpha }_{2}$,${\alpha }_{3}$是给定的向量。增广矩阵为：
$$
\left (\begin{matrix} a& a-1& 1& 1\\ a& a& 1& 2\\ a& a-1& a-1& 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，目的是化简矩阵，使其更容易分析。进行以下变换：
- ${T}_{3}-{T}_{1}$：第三行减去第一行
- ${T}_{2}-{T}_{1}$：第二行减去第一行
变换后的矩阵为：
$$
\left (\begin{matrix} a& a-1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& a-2& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：分析矩阵的秩
由于$\beta$可由${\alpha }_{1}$,${\alpha }_{2}$,${\alpha }_{3}$线性表示且表示方法唯一，这意味着非齐次线性方程组$x_{1}{\alpha }_{1}+x_{2}{\alpha }_{2}+x_{3}{\alpha }_{3}=\beta$有唯一解。因此，矩阵$({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},\beta )$的秩等于矩阵$({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3})$的秩。观察变换后的矩阵，可以发现当$a-2=0$时，矩阵的秩为3，满足条件。因此，$a=2$。