[题目]-|||-求下列极限:-|||-lim _(narrow infty )[ ((n+1))^alpha -(n)^alpha ] lt alpha lt 1;

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是涉及幂函数差的极限。需要掌握无穷小量的比较以及泰勒展开或等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：
将表达式 $(n+1)^\alpha - n^\alpha$ 进行变形，提取公因子 $n^\alpha$，转化为与 $\frac{1}{n}$ 相关的无穷小量。利用泰勒展开或等价无穷小替换展开 $(1+\frac{1}{n})^\alpha$，化简后分析极限。

破题关键点：

1. 提取公因子：将 $(n+1)^\alpha$ 写成 $n^\alpha \left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha$。
2. 展开近似：对 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha$ 使用泰勒展开或等价无穷小 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha \approx 1 + \frac{\alpha}{n}$。
3. 化简分析：通过化简得到 $\alpha \cdot n^{\alpha -1}$，结合 $0 < \alpha < 1$ 判断极限为 $0$。

步骤1：提取公因子
将 $(n+1)^\alpha$ 改写为 $n^\alpha \left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha$，则原式可变形为：
$\begin{aligned}(n+1)^\alpha - n^\alpha &= n^\alpha \left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha - n^\alpha \\&= n^\alpha \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha - 1\right].\end{aligned}$

步骤2：泰勒展开近似
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n}$ 很小，对 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha$ 进行泰勒展开（保留一阶项）：
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha \approx 1 + \alpha \cdot \frac{1}{n}.$

步骤3：代入并化简
将展开式代入原式：
$\begin{aligned}n^\alpha \left[\left(1+\frac{\alpha}{n}\right) - 1\right] &= n^\alpha \cdot \frac{\alpha}{n} \\&= \alpha \cdot n^{\alpha -1}.\end{aligned}$

步骤4：分析极限
由于 $0 < \alpha < 1$，指数 $\alpha -1$ 为负数，因此 $n^{\alpha -1} = \frac{1}{n^{1-\alpha}}$。当 $n \to \infty$ 时，$n^{1-\alpha} \to \infty$，故 $\frac{1}{n^{1-\alpha}} \to 0$。因此：
$\lim_{n \to \infty} \alpha \cdot n^{\alpha -1} = 0.$