19.已知函数 f(x)= +b,xgt 0 dfrac {x)(2)-a,xlt 0 . x=0 处连续.求实数a与b的值.

考查要点：本题主要考查函数在分段点处的连续性条件，涉及分段函数极限的计算及参数求解。

解题核心思路：
函数在某点连续需满足左右极限存在且相等，且等于该点的函数值。因此，需分别计算x趋近于0时的左极限和右极限，并令其等于f(0)的值，建立方程求解a和b。

破题关键点：

1. 左极限（x→0⁻）：直接代入x<0时的表达式，计算得极限值为$-a$。
2. 右极限（x→0⁺）：利用等价无穷小$\sin x \sim x$（当x→0时），化简表达式后极限值为$a + b$。
3. 连续条件：左右极限相等且等于f(0)，结合题目隐含条件$f(0)=2$，联立方程求解。

步骤1：计算左极限（x→0⁻）

当$x \to 0^-$时，函数表达式为$\dfrac{x}{2} - a$，代入得：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \dfrac{0}{2} - a = -a$

步骤2：计算右极限（x→0⁺）

当$x \to 0^+$时，函数表达式为$\dfrac{a \sin x}{x} + b$。利用等价无穷小$\sin x \sim x$（当$x \to 0$时），得：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( \dfrac{a \cdot x}{x} + b \right) = a + b$

步骤3：应用连续性条件

函数在$x=0$处连续，需满足：
$\text{左极限} = \text{右极限} = f(0)$
根据题目隐含条件$f(0) = 2$，联立方程：
$\begin{cases}-a = 2 \\a + b = 2\end{cases}$

步骤4：解方程组

1. 由$-a = 2$得$a = -2$。
2. 将$a = -2$代入$a + b = 2$，得$-2 + b = 2$，解得$b = 4$。