31.（判断题，2.0分）如果函数u=u(x,y)在点(x,y)处具有对x及对y的偏导数，函数v=v(y)在点y处可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数，则复合函数z=f[u(x,y),v(y)]在对应点(x,y)处的两个偏导数都存在，且有(partial z)/(partial x)=(partial z)/(partial u)cdot(partial u)/(partial x)A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查多元复合函数的链式法则应用，特别是对中间变量依赖关系的理解。

解题核心思路：

1. 链式法则的结构：明确复合函数中变量间的依赖关系，确定对某一变量求偏导时需要考虑哪些中间变量的传递。
2. 偏导数存在的条件：题目中给出的条件（如偏导数存在、可导、连续偏导数）是否满足链式法则的应用前提。
3. 关键简化：由于$v$仅是$y$的函数，对$x$求偏导时$\frac{\partial v}{\partial x}=0$，从而简化表达式。

破题关键点：

• 变量独立性：$v$不显含$x$，因此对$x$求偏导时只需考虑$u$的路径。
• 连续偏导数的作用：保证链式法则中各偏导数的乘积项存在且可计算。

根据链式法则，复合函数$z = f[u(x,y), v(y)]$的偏导数计算如下：

对$x$求偏导

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$
由于$v$仅依赖$y$，故$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$，因此：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$

对$y$求偏导

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$
题目中$u$对$y$有偏导数，$v$对$y$可导，因此$\frac{\partial z}{\partial y}$也存在。

结论：题目中的偏导数表达式正确，且两个偏导数均存在。