4.设随机变量X与Y相互独立,都服从(0,1)上的均匀分布,求E(max(X,Y)),-|||-D(max(X,Y )).

本题主要考查随机变量函数的期望与方差计算，关键利用随机变量的独立性及均匀分布的性质求解。

步骤1：确定max{X,Y}的分布函数

已知$X$与$Y$独立同分布，均服从$(0,1)$上的均匀分布，其概率密度函数均为：
$f(x)=\begin{cases}1 & 0

对$z\in(0,1)$，$\max\{X,Y\}\leq z$等价于$X\leq z$且$Y\leq z$，由独立性得：
$F_{\max}(z)=P(\max\{X,Y\}\leq z)=P(X\leq z)P(Y\leq z)=z^2$

对$F_{\max}(z)$求导得概率密度函数：
$f_{\max}(z)=F'_{\max}(z)=2z\quad (0

步骤2：计算期望$E(\max\{X,Y\})$

根据期望定义：
$E(\max\{X,Y\})=\int_{-\infty}^{+\infty}zf_{\max}(z)\text{d}z=\int_{0}^{1}z\cdot2z\text{d}z=2\int_{0}^{1}z^2\text{d}z$
计算积分：
$2\left[\frac{z^3}{3}\right]_0^1=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

步骤3：计算方差$D(\max\{X,Y\})$

方差公式为$D(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2$，先求$E(\max\{X,Y\}^2)$：
$E(\max\{X,Y\}^2)=\int_{0}^{1}z^2\cdot2z\text{d}z=2\int_{0}^{1}z^3\text{d}z=2\left[\frac{z^4}{4}\right]_0^1=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

代入方差公式：
$D(\max\{X,Y\})=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9}{18}-\frac{8}{18}=\frac{1}{18}$