15.求极限lim_(xto0)(xln(1+x))/(x-ln(1+x))

本题考查函数极限的计算，可通过等价无穷小替换或洛必达法则来求解。

方法一：等价无穷小替换

• 步骤一：确定等价无穷小
  当$x \to 0$时，根据等价无穷小的知识可知$\ln(1 + x) \sim x$，同时$\ln(1 + x)=x-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})$。
• 步骤二：替换分子分母中的等价无穷小
  • 对于分子$x\ln(1 + x)$，因为$\ln(1 + x) \sim x$，所以$x\ln(1 + x) \sim x\cdot x=x^{2}$。
  • 对于分母$x - \ln(1 + x)$，将$\ln(1 + x)=x-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})$代入可得：
    $x - \ln(1 + x)=x-(x - \frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}))=\frac{x^{2}}{2}-o(x^{2})$，当$x \to 0$时，$o(x^{2})$是比$x^{2}$高阶的无穷小，可忽略不计，所以$x - \ln(1 + x) \sim \frac{x^{2}}{2}$。
• 步骤三：计算极限
  将替换后的分子分母代入原式可得：
  $\lim_{x \to 0} \frac{x\ln(1 + x)}{x - \ln(1 + x)}=\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{2}}$
  分子分母同时约去$x^{2}$，得到$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{2}}=\lim_{x \to 0} 2 = 2$。

方法二：洛必达法则

• 步骤一：判断是否满足洛必达法则的条件
  当$x \to 0$时，分子$x\ln(1 + x) \to 0$，分母$x - \ln(1 + x) \to 0$，即原式为$\frac{0}{0}$型的极限，可以使用洛必达法则。
• 步骤二：对分子分母分别求导
  根据求导公式$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，对分子$x\ln(1 + x)$求导：
  $(x\ln(1 + x))^\prime=\ln(1 + x)+x\cdot\frac{1}{1 + x}=\ln(1 + x) + \frac{x}{1 + x}$
  对分母$x - \ln(1 + x)$求导：
  $(x - \ln(1 + x))^\prime=1-\frac{1}{1 + x}=\frac{1 + x - 1}{1 + x}=\frac{x}{1 + x}$
• 步骤三：计算求导后的极限
  由洛必达法则可得$\lim_{x \to 0} \frac{x\ln(1 + x)}{x - \ln(1 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) + \frac{x}{1 + x}}{\frac{x}{1 + x}}$
  将上式变形为$\lim_{x \to 0} \left( \frac{(1 + x)\ln(1 + x)}{x} + 1 \right)$
  对于$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)\ln(1 + x)}{x}$，可将其拆分为$\lim_{x \to 0} (1 + x)\cdot\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$
  因为$\lim_{x \to 0} (1 + x)=1$，且当$x \to 0$时，$\ln(1 + x) \sim x$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$
  则$\lim_{x \to 0} (1 + x)\cdot\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}=1\times1 = 1$
  所以$\lim_{x \to 0} \left( \frac{(1 + x)\ln(1 + x)}{x} + 1 \right)=1 + 1 = 2$。