题目

验证 y = C_1 x + C_2 x^2（其中 C_1，C_2 是任意常数）是方程 y'' - (2)/(x) y' + (2y)/(x^2) = 0 的通解。

验证 $y = C_1 x + C_2 x^2$（其中 $C_1$，$C_2$ 是任意常数）是方程 $y'' - \frac{2}{x} y' + \frac{2y}{x^2} = 0$ 的通解。

题目解答

答案

将 $ y = C_1 x + C_2 x^2 $ 代入方程 $ y'' - \frac{2}{x} y' + \frac{2y}{x^2} = 0 $，计算得：
$y' = C_1 + 2C_2 x, \quad y'' = 2C_2$
代入方程：
$2C_2 - \frac{2}{x}(C_1 + 2C_2 x) + \frac{2(C_1 x + C_2 x^2)}{x^2} = 2C_2 - \left(\frac{2C_1}{x} + 4C_2\right) + \left(\frac{2C_1}{x} + 2C_2\right) = 0$
等式成立，且解含两个任意常数 $ C_1 $、$ C_2 $，符合二阶方程通解条件。

结论：
函数 $ y = C_1 x + C_2 x^2 $ 是方程的通解。

$\boxed{\text{是通解}}$

解析

本题考查二阶常系数线性齐次微分方程通解的验证。解题思路是先求出给定函数的一阶导数和二阶导数，然后将原函数、一阶导数和二阶导数代入给定的微分方程，验证等式是否成立。若等式成立，再判断解中所含任意常数的个数是否与方程的阶数相同，若相同则该解为方程的通解。

  1. 求$y = C_1 x + C_2 x^2$的一阶导数$y'$：
    根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，对$y = C_1 x + C_2 x^2$求导可得：
    $y^\prime=(C_1 x + C_2 x^2)^\prime=(C_1 x)^\prime+(C_2 x^2)^\prime=C_1 + 2C_2 x$
  2. 求$y = C_1 x + C_2 x^2$的二阶导数$y''$：
    对$y^\prime = C_1 + 2C_2 x$再次求导，可得：
    $y^{\prime\prime}=(C_1 + 2C_2 x)^\prime=(C_1)^\prime+(2C_2 x)^\prime=0 + 2C_2=2C_2$
  3. 将$y$、$y'$、$y''$代入方程$y'' - \frac{2}{x} y' + \frac{2y}{x^2} = 0$进行验证：
    把$y = C_1 x + C_2 x^2$，$y^\prime = C_1 + 2C_2 x$，$y^{\prime\prime}=2C_2$代入方程左边得：
    $\begin{align*}&y'' - \frac{2}{x} y' + \frac{2y}{x^2}\\=&2C_2 - \frac{2}{x}(C_1 + 2C_2 x) + \frac{2(C_1 x + C_2 x^2)}{x^2}\\=&2C_2 - (\frac{2C_1}{x} + 4C_2) + (\frac{2C_1}{x} + 2C_2)\\=&2C_2 - \frac{2C_1}{x} - 4C_2 + \frac{2C_1}{x} + 2C_2\\=&(2C_2 - 4C_2 + 2C_2)+(-\frac{2C_1}{x} + \frac{2C_1}{x})\\=&0 + 0\\=&0\end{align*}$
    方程左边等于右边，所以$y = C_1 x + C_2 x^2$是方程$y'' - \frac{2}{x} y' + \frac{2y}{x^2} = 0$的解。
  4. 判断解中任意常数的个数：
    给定的解$y = C_1 x + C_2 x^2$中含有两个任意常数$C_1$和$C_2$，而原方程是二阶方程，解中任意常数的个数与方程的阶数相同，所以$y = C_1 x + C_2 x^2$是方程$y'' - \frac{2}{x} y' + \frac{2y}{x^2} = 0$的通解。