求极限lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+5xsin x))(1-cos x).

步骤 1：等价无穷小替换
当$x\rightarrow 0$时，$\ln (1+x)\sim x$，$\sin x\sim x$，$\cos x\sim 1-\dfrac {{x}^{2}}{2}$。因此，当$x\rightarrow 0$时，$5x\sin x\rightarrow 0$，所以$\ln (1+5x\sin x)\sim 5x\sin x$。
步骤 2：代入等价无穷小
将$\ln (1+5x\sin x)$替换为$5x\sin x$，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+5x\sin x)}{1-\cos x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {5x\sin x}{1-\cos x}$。
步骤 3：进一步简化
将$\sin x$替换为$x$，$1-\cos x$替换为$\dfrac {{x}^{2}}{2}$，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {5x\sin x}{1-\cos x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {5x\times x}{1-(1-\dfrac {{x}^{2}}{2})}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {5{x}^{2}}{\dfrac {{x}^{2}}{2}}$。
步骤 4：计算极限
计算得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {5{x}^{2}}{\dfrac {{x}^{2}}{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}5{x}^{2}\times \dfrac {2}{{x}^{2}}=10$。