设_(1)=((0,-3,3,1))^T，_(1)=((0,-3,3,1))^T，_(1)=((0,-3,3,1))^T，_(1)=((0,-3,3,1))^T，_(1)=((0,-3,3,1))^T.求向量组_(1)=((0,-3,3,1))^T的秩以及它的一个最大线性无关组；将其余向量用所求的最大线性无关组线性表示。

步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵，其列向量为给定的向量${x}_{1}$，${x}_{2}$，${x}_{3}$，${x}_{4}$，${x}_{5}$。矩阵如下：
$$
A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
-3 & 1 & -4 & 4 & -5 \\
3 & 1 & 3 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵$A$进行初等行变换，化为阶梯形矩阵。变换过程如下：
$$
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
-3 & 1 & -4 & 4 & -5 \\
3 & 1 & 3 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 4 & -1 \\
0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
0 & 4 & 3 & 15 & -3 \\
0 & -2 & -3 & -12 & 2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 4 & -1 \\
0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & 5 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：确定最大线性无关组
从阶梯形矩阵中，可以看出每行第一个非零元素在第一、二、三列，因此${x}_{1}$，${x}_{2}$，${x}_{3}$构成一个最大线性无关组。向量组的秩为3。
步骤 4：表示其余向量
由阶梯形矩阵，可以得到${x}_{4}$和${x}_{5}$的线性表示：
$$
{x}_{4} = {x}_{1} + 3{x}_{2} - {x}_{3}
$$
$$
{x}_{5} = -{x}_{2} + {x}_{3}
$$