题目
28.(填空题，3.0分)设有一物体所占的空间闭区域Omega=(x,y,z)|0le xle 1,0le yle 1,0le zle 1，在点(x,y,z)处的密度函数为rho(x,y,z)=x+y+z，则该物体的质量=_____(用小数表示)
28.(填空题，3.0分)
设有一物体所占的空间闭区域$\Omega=\{(x,y,z)|0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1\}$，在点(x,y,z)处的密度函数为$\rho(x,y,z)=x+y+z$，则该物体的质量=_____(用小数表示)
题目解答
答案
物体的质量 $M$ 可通过三重积分计算：
\[
M = \iiint_{\Omega} (x + y + z) \, dV
\]
其中，$\Omega = \{(x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1\}$。将积分分解为：
\[
M = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x + y + z) \, dz \, dy \, dx
\]
先对 $z$ 积分：
\[
\int_{0}^{1} (x + y + z) \, dz = x + y + \frac{1}{2}
\]
再对 $y$ 积分：
\[
\int_{0}^{1} \left( x + y + \frac{1}{2} \right) \, dy = x + 1
\]
最后对 $x$ 积分：
\[
\int_{0}^{1} (x + 1) \, dx = \frac{3}{2}
\]
或利用线性性质：
\[
M = \iiint_{\Omega} x \, dV + \iiint_{\Omega} y \, dV + \iiint_{\Omega} z \, dV = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]
**答案：** $\boxed{1.5}$