求下列微分方程满足所给初值条件的特解：(1) y'' - 4y' + 3y = 0, y |_(x=0) = 6, y' |_(x=0) = 10;(2) 4y'' + 4y' + y = 0, y |_(x=0) = 2, y' |_(x=0) = 0;(3) y'' - 3y' - 4y = 0, y |_(x=0) = 0, y' |_(x=0) = -5;(4) y'' + 4y' + 29y = 0, y |_(x=0) = 0, y' |_(x=0) = 15;(5) y'' + 25y = 0, y |_(x=0) = 2, y' |_(x=0) = 5;(6) y'' - 4y' + 13y = 0, y |_(x=0) = 0, y' |_(x=0) = 3.

我们来逐一求解这些二阶常系数线性齐次微分方程的初值问题。它们的通解形式取决于特征方程的根的类型（实根、重根或复根）。

(1) $y'' - 4y' + 3y = 0$, $y(0) = 6$, $y'(0) = 10$

特征方程：

$r^2 - 4r + 3 = 0$
解得：
$r = 1, 3$
两个不同的实根，通解为：
$y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}$

初始条件代入：

$y(0) = C_1 + C_2 = 6 \tag{1}$
$y'(x) = C_1 e^x + 3C_2 e^{3x} \Rightarrow y'(0) = C_1 + 3C_2 = 10 \tag{2}$

联立 (1) 和 (2) 解得：
$C_1 = 4, \quad C_2 = 2$

特解：

$\boxed{y(x) = 4e^x + 2e^{3x}}$

(2) $4y'' + 4y' + y = 0$, $y(0) = 2$, $y'(0) = 0$

特征方程：

$4r^2 + 4r + 1 = 0$
$r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} = \frac{-1}{2}$
重根，通解为：
$y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-x/2}$

初始条件代入：

$y(0) = C_1 = 2 \tag{1}$
$y'(x) = \left(-\frac{1}{2}C_1 + C_2 - \frac{1}{2}C_2 x\right)e^{-x/2} \Rightarrow y'(0) = -\frac{1}{2}C_1 + C_2 = 0 \tag{2}$

代入 $C_1 = 2$ 到 (2)：
$-\frac{1}{2} \cdot 2 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 1$

特解：

$\boxed{y(x) = (2 + x)e^{-x/2}}$

(3) $y'' - 3y' - 4y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = -5$

特征方程：

$r^2 - 3r - 4 = 0 \Rightarrow r = 4, -1$
通解为：
$y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x}$

初始条件代入：

$y(0) = C_1 + C_2 = 0 \tag{1}$
$y'(x) = 4C_1 e^{4x} - C_2 e^{-x} \Rightarrow y'(0) = 4C_1 - C_2 = -5 \tag{2}$

由 (1) 得 $C_2 = -C_1$，代入 (2)：
$4C_1 - (-C_1) = 5C_1 = -5 \Rightarrow C_1 = -1, \quad C_2 = 1$

特解：

$\boxed{y(x) = -e^{4x} + e^{-x}}$

(4) $y'' + 4y' + 29y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 15$

特征方程：

$r^2 + 4r + 29 = 0 \Rightarrow r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 116}}{2} = -2 \pm 5i$
复根，通解为：
$y(x) = e^{-2x}(C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x))$

初始条件代入：

$y(0) = C_1 = 0 \tag{1}$
$y'(x) = e^{-2x}(-2C_1 \cos(5x) - 5C_1 \sin(5x) - 2C_2 \sin(5x) + 5C_2 \cos(5x)) \Rightarrow y'(0) = 5C_2 = 15 \Rightarrow C_2 = 3$

特解：

$\boxed{y(x) = 3e^{-2x} \sin(5x)}$

(5) $y'' + 25y = 0$, $y(0) = 2$, $y'(0) = 5$

特征方程：

$r^2 + 25 = 0 \Rightarrow r = \pm 5i$
通解为：
$y(x) = C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x)$

初始条件代入：

$y(0) = C_1 = 2 \tag{1}$
$y'(x) = -5C_1 \sin(5x) + 5C_2 \cos(5x) \Rightarrow y'(0) = 5C_2 = 5 \Rightarrow C_2 = 1$

特解：

$\boxed{y(x) = 2\cos(5x) + \sin(5x)}$

(6) $y'' - 4y' + 13y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 3$

特征方程：

$r^2 - 4r + 13 = 0 \Rightarrow r = 2 \pm 3i$
通解为：
$y(x) = e^{2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))$

初始条件代入：

$y(0) = C_1 = 0 \tag{1}$
$y'(x) = e^{2x}(2C_1 \cos(3x) - 3C_1 \sin(3x) + 2C_2 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x)) \Rightarrow y'(0) = 3C_2 = 3 \Rightarrow C_2 = 1$

特解：

$\boxed{y(x) = e^{2x} \sin(3x)}$

✅ 最终答案总结：

1. $ \boxed{y(x) = 4e^x + 2e^{3x}} $
2. $ \boxed{y(x) = (2 + x)e^{-x/2}} $
3. $ \boxed{y(x) = -e^{4x} + e^{-x}} $
4. $ \boxed{y(x) = 3e^{-2x} \sin(5x)} $
5. $ \boxed{y(x) = 2\cos(5x) + \sin(5x)} $
6. $ \boxed{y(x) = e^{2x} \sin(3x)} $