函数 y=2x^2-x+1 在区间 [-1,3] 上满足拉格朗日中值定理的 xi= （）A. -(3)/(4)B. 0C. (3)/(4)D. 1

拉格朗日中值定理的考查要点是：

1. 验证函数在闭区间上连续、开区间内可导（本题函数为多项式，显然满足条件）；
2. 计算平均变化率（即区间端点函数值的差商）；
3. 求导数并解方程，找到导数等于平均变化率的点$\xi$；
4. 验证$\xi$是否在区间内部。

解题核心思路：通过平均变化率与导数的关系直接求解$\xi$。

步骤1：计算端点函数值

函数$f(x)=2x^2 -x +1$在区间端点的值：
$f(-1) = 2(-1)^2 - (-1) + 1 = 2 + 1 + 1 = 4, \\ f(3) = 2(3)^2 - 3 + 1 = 18 - 3 + 1 = 16.$

步骤2：求平均变化率

平均变化率为区间端点函数值的差商：
$\text{平均变化率} = \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} = \frac{16 - 4}{4} = 3.$

步骤3：求导数并解方程

函数$f(x)$的导数为：
$f'(x) = 4x - 1.$
令导数等于平均变化率：
$4\xi - 1 = 3 \implies 4\xi = 4 \implies \xi = 1.$

步骤4：验证$\xi$是否在区间内部

$\xi = 1$属于区间$(-1, 3)$，满足定理条件。