3.求初值问题-|||- ={x)^2-(y)^2 y(-1)=0 . ,R: |x+1|leqslant 1 ,|y|leqslant 1 ,-|||-的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.

步骤 1：确定解的存在区间
根据给定的初值问题，我们首先需要确定解的存在区间。根据Picard-Lindelöf定理，如果函数$f(x,y)=x^2-y^2$在区域$R: |x+1|\leqslant 1$，$|y|\leqslant 1$内连续且关于$y$满足Lipschitz条件，则初值问题的解在某个区间内存在且唯一。由于$f(x,y)$在$R$内连续且关于$y$满足Lipschitz条件，因此解的存在区间为$|x+1|\leqslant h$，其中$h$是使得解在$R$内存在的最大值。通过计算，我们得到$h=\frac{1}{4}$，因此解的存在区间为$|x+1|\leqslant \frac{1}{4}$。

步骤 2：求第二次近似解
为了求解第二次近似解，我们使用Picard迭代法。首先，我们有$y_0(x)=0$。然后，我们计算$y_1(x)$和$y_2(x)$。
$$y_1(x)=y(-1)+\int_{-1}^{x}f(t,y_0(t))dt=0+\int_{-1}^{x}t^2dt=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}$$
$$y_2(x)=y(-1)+\int_{-1}^{x}f(t,y_1(t))dt=0+\int_{-1}^{x}(t^2-(\frac{t^3}{3}-\frac{1}{3})^2)dt=\frac{x^3}{3}-\frac{x}{9}-\frac{x^4}{18}-\frac{x^7}{63}+\frac{11}{42}$$
因此，第二次近似解为$y_2(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x}{9}-\frac{x^4}{18}-\frac{x^7}{63}+\frac{11}{42}$。

步骤 3：给出在解的存在区间的误差估计
为了给出在解的存在区间的误差估计，我们使用Picard迭代法的误差估计公式。根据公式，我们有$|y-y_2|\leqslant \frac{M}{(1-Mh)^2}h^2$，其中$M$是$f(x,y)$在$R$内的最大值。通过计算，我们得到$M=2$，因此$|y-y_2|\leqslant \frac{2}{(1-2\times\frac{1}{4})^2}\times(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{24}$。