题目
23.求由y=(3)/(x)及x+y=4所围平面图形的面积及此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.
23.求由$y=\frac{3}{x}$及x+y=4所围平面图形的面积及此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.
题目解答
答案
- 求交点：解方程 $x + \frac{3}{x} = 4$，得 $x = 1$ 或 $x = 3$，对应交点为 $(1, 3)$ 和 $(3, 1)$。
- 计算面积：
$S = \int_{1}^{3} \left[ (4 - x) - \frac{3}{x} \right] \, dx = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} - 3\ln x \right]_{1}^{3} = 4 - 3\ln 3$ - 计算体积：
$V_x = \pi \int_{1}^{3} \left[ (4 - x)^2 - \left( \frac{3}{x} \right)^2 \right] \, dx = \frac{8\pi}{3}$
答案：
$\boxed{\begin{array}{l}\text{面积 } S = 4 - 3\ln 3 \\\text{体积 } V_x = \frac{8\pi}{3}\end{array}}$
解析
考查要点：本题主要考查平面图形的面积计算和旋转体体积计算，涉及积分应用中的定积分求面积和体积的方法。
解题核心思路：
- 确定交点：联立两个方程求出曲线交点，确定积分上下限。
- 面积计算：通过积分上下函数之差求面积，注意比较两曲线在积分区间内的上下位置。
- 体积计算：使用圆盘法（环形法），计算外半径和内半径的平方差积分。
破题关键点：
- 正确求解交点是后续步骤的基础。
- 积分表达式的建立需准确判断曲线的上下关系。
- 积分运算需注意代数展开和积分公式的正确应用。
求交点
联立方程 $y = \frac{3}{x}$ 和 $x + y = 4$，代入得：
$x + \frac{3}{x} = 4 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x = 1 \text{ 或 } x = 3.$
对应交点为 $(1, 3)$ 和 $(3, 1)$。
计算面积
在区间 $[1, 3]$ 上，直线 $y = 4 - x$ 在曲线 $y = \frac{3}{x}$ 上方，面积为：
$S = \int_{1}^{3} \left[ (4 - x) - \frac{3}{x} \right] dx.$
分步计算：
- 积分展开：
$\int \left( 4 - x - \frac{3}{x} \right) dx = 4x - \frac{x^2}{2} - 3\ln x.$ - 代入上下限：
$\left[ 4x - \frac{x^2}{2} - 3\ln x \right]_{1}^{3} = \left( 12 - 4.5 - 3\ln 3 \right) - \left( 4 - 0.5 - 0 \right) = 4 - 3\ln 3.$
计算体积
绕 $x$ 轴旋转的体积公式为：
$V_x = \pi \int_{1}^{3} \left[ (4 - x)^2 - \left( \frac{3}{x} \right)^2 \right] dx.$
分步计算：
- 展开平方项：
$(4 - x)^2 = 16 - 8x + x^2, \quad \left( \frac{3}{x} \right)^2 = \frac{9}{x^2}.$ - 积分运算：
$\int \left( 16 - 8x + x^2 - \frac{9}{x^2} \right) dx = 16x - 4x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{9}{x}.$ - 代入上下限：
$\left[ 16x - 4x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{9}{x} \right]_{1}^{3} = \frac{8}{3}.$
最终体积为：
$V_x = \pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{8\pi}{3}.$