题目
- 13 如图所示,一个半径为 R 的无限长半圆柱面导体,沿长度方向的电流 I 在柱面上均匀分布.求半圆柱面 轴线 OO′上的磁感强度.⏺
- 13 如图所示,一个半径为 R 的无限长半圆柱面导体,沿长度方向的电流 I 在柱面上均匀分布.求半圆柱面 轴线 OO′上的磁感强度.⏺
题目解答
答案
分析 毕-萨定理只能用于求线电流的磁场分布,对于本题的半圆柱形面电流,可将半圆柱面分割成宽度
dI Rdθ的细电流,细电流与轴线 OO ′平行,将细电流在轴线上产生的磁感强度叠加,即可求得半圆柱面轴线 上的磁感强度.
解 根据分析,由于长直细线中的电流 dI Idl/ πR,它在轴线上一点激发的磁感强度的大小为
dB dI
其方向在 Oxy 平面内,且与由d l 引向点 O 的半径垂直,如图 7 - 13(b)所示.由对称性可知,半圆柱面上细 电流在轴线 OO ′上产生的磁感强度叠加后,得
By dBsin θ 0
B dBsin θ Rdθ sinθ
2πR πR πR
则轴线上总的磁感强度大小
μ0I
解析
步骤 1：电流分布与磁感强度的计算
半圆柱面导体的电流 I 沿长度方向均匀分布，可以将半圆柱面分割成宽度为 dI = Idl/πR 的细电流。根据毕奥-萨伐尔定律，细电流在轴线上一点激发的磁感强度的大小为 dB = μ0 dI / (2πr)，其中 r 是细电流到轴线的距离，对于轴线上的点，r = R。
步骤 2：磁感强度的叠加
由于细电流与轴线 OO′平行，细电流在轴线上产生的磁感强度的方向在 Oxy 平面内，且与由细电流引向点 O 的半径垂直。由对称性可知，半圆柱面上细电流在轴线 OO′上产生的磁感强度叠加后，垂直于轴线的分量相互抵消，只有平行于轴线的分量叠加。
步骤 3：计算轴线上的磁感强度
细电流在轴线上产生的磁感强度的大小为 dB = μ0 dI / (2πR) = μ0 Idl / (2π²R²)。由于细电流在轴线上产生的磁感强度的方向与轴线平行，因此轴线上总的磁感强度大小为 B = ∫ dB = ∫ μ0 Idl / (2π²R²) = μ0 I / (2πR)。
半圆柱面导体的电流 I 沿长度方向均匀分布，可以将半圆柱面分割成宽度为 dI = Idl/πR 的细电流。根据毕奥-萨伐尔定律，细电流在轴线上一点激发的磁感强度的大小为 dB = μ0 dI / (2πr)，其中 r 是细电流到轴线的距离，对于轴线上的点，r = R。
步骤 2：磁感强度的叠加
由于细电流与轴线 OO′平行，细电流在轴线上产生的磁感强度的方向在 Oxy 平面内，且与由细电流引向点 O 的半径垂直。由对称性可知，半圆柱面上细电流在轴线 OO′上产生的磁感强度叠加后，垂直于轴线的分量相互抵消，只有平行于轴线的分量叠加。
步骤 3：计算轴线上的磁感强度
细电流在轴线上产生的磁感强度的大小为 dB = μ0 dI / (2πR) = μ0 Idl / (2π²R²)。由于细电流在轴线上产生的磁感强度的方向与轴线平行，因此轴线上总的磁感强度大小为 B = ∫ dB = ∫ μ0 Idl / (2π²R²) = μ0 I / (2πR)。