题目
计算 iint (x+y+z)ds, 其中∑为球面 ^2+(y)^2+(z)^2=(a)^2 上 geqslant h(0lt hlt a)-|||-的部分.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ 上 $z\geqslant h(0\lt h\lt a)$ 的部分，可以投影到 $xOy$ 平面上，得到圆域 $D:x^{2}+y^{2}\leqslant a^{2}-h^{2}$。
步骤 2：计算球面的法向量
球面的法向量为 $\vec{n}=(2x,2y,2z)$，在球面上，$z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$，因此法向量为 $\vec{n}=(2x,2y,2\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}})$。
步骤 3：计算微分面积元素
微分面积元素 $dS$ 可以表示为 $dS=\sqrt{1+{z_{x}}^{2}+{z_{y}}^{2}}dxdy$，其中 ${z_{x}}^{2}+{z_{y}}^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$，因此 $dS=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy$。
步骤 4：计算积分
将 $x+y+z$ 代入积分，得到 $\int (x+y+z)dS=\iint (x+y+\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}})\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy$。
步骤 5：转换为极坐标
将积分转换为极坐标，得到 $\int (x+y+z)dS=a\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-h^{2}}}rdr\left(\cos\theta+\sin\theta+\frac{a}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}\right)$。
步骤 6：计算积分
计算积分，得到 $\int (x+y+z)dS=\pi a(a^{2}-h^{2})$。
球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ 上 $z\geqslant h(0\lt h\lt a)$ 的部分，可以投影到 $xOy$ 平面上，得到圆域 $D:x^{2}+y^{2}\leqslant a^{2}-h^{2}$。
步骤 2：计算球面的法向量
球面的法向量为 $\vec{n}=(2x,2y,2z)$，在球面上，$z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$，因此法向量为 $\vec{n}=(2x,2y,2\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}})$。
步骤 3：计算微分面积元素
微分面积元素 $dS$ 可以表示为 $dS=\sqrt{1+{z_{x}}^{2}+{z_{y}}^{2}}dxdy$，其中 ${z_{x}}^{2}+{z_{y}}^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$，因此 $dS=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy$。
步骤 4：计算积分
将 $x+y+z$ 代入积分，得到 $\int (x+y+z)dS=\iint (x+y+\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}})\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy$。
步骤 5：转换为极坐标
将积分转换为极坐标，得到 $\int (x+y+z)dS=a\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-h^{2}}}rdr\left(\cos\theta+\sin\theta+\frac{a}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}\right)$。
步骤 6：计算积分
计算积分，得到 $\int (x+y+z)dS=\pi a(a^{2}-h^{2})$。