(1)当x→0时，f(x)=sin(ax^3)与g(x)=x^2ln(1-x)是等价无穷小量，则( ).A. a=1B. a=2C. a=-1D. a=-2

考查要点：本题主要考查等价无穷小的定义及泰勒展开的应用，需要利用两个函数在$x \to 0$时的展开式，通过比较最高次项的系数来确定参数$a$的值。

解题核心思路：

1. 等价无穷小的条件：当$x \to 0$时，$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 1$。
2. 泰勒展开：将$\sin(ax^3)$和$\ln(1-x)$展开到足够阶数，保留主要项并忽略高阶无穷小。
3. 比较系数：通过展开后的表达式，建立方程求解$a$。

破题关键点：

• 正确展开$\sin(ax^3)$和$\ln(1-x)$，并保留对极限起决定作用的项。
• 忽略高阶无穷小，简化表达式后建立方程。

步骤1：展开$\sin(ax^3)$

当$x \to 0$时，$\sin(ax^3)$的泰勒展开式为：
$\sin(ax^3) = ax^3 - \frac{(ax^3)^3}{6} + \cdots \approx ax^3$
（更高阶项如$x^9$可忽略）

步骤2：展开$\ln(1-x)$

当$x \to 0$时，$\ln(1-x)$的泰勒展开式为：
$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots \approx -x$
（保留一次项即可）

步骤3：代入$g(x)$并简化

将$\ln(1-x) \approx -x$代入$g(x) = x^2 \ln(1-x)$：
$g(x) \approx x^2 \cdot (-x) = -x^3$

步骤4：建立等价无穷小条件

根据等价无穷小定义：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax^3)}{x^2 \ln(1-x)} = 1$
代入展开式：
$\lim_{x \to 0} \frac{ax^3}{-x^3} = \lim_{x \to 0} (-a) = -a$
因此有：
$-a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = -1$