题目
[题目]求函数 =3(x)^2-(x)^3 的单调区间与极值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
对函数 $y=3{x}^{2}-{x}^{3}$ 求导，得到 $y'=6x-3{x}^{2}$。
步骤 2：求导数为零的点
令 $y'=0$，即 $6x-3{x}^{2}=0$，解得 $x=0$ 或 $x=2$。
步骤 3：确定单调区间
- 当 $x\in (-\infty ,0)$ 时，$y'\lt 0$，函数 $y=3{x}^{2}-{x}^{3}$ 是减函数。
- 当 $x\in (0,2)$ 时，$y'\gt 0$，函数 $y=3{x}^{2}-{x}^{3}$ 是增函数。
- 当 $x\in (2,+\infty )$ 时，$y'\lt 0$，函数 $y=3{x}^{2}-{x}^{3}$ 是减函数。
步骤 4：确定极值
- 当 $x=0$ 时，函数取得极小值 $y(0)=0$。
- 当 $x=2$ 时，函数取得极大值 $y(2)=4$。
对函数 $y=3{x}^{2}-{x}^{3}$ 求导，得到 $y'=6x-3{x}^{2}$。
步骤 2：求导数为零的点
令 $y'=0$，即 $6x-3{x}^{2}=0$，解得 $x=0$ 或 $x=2$。
步骤 3：确定单调区间
- 当 $x\in (-\infty ,0)$ 时，$y'\lt 0$，函数 $y=3{x}^{2}-{x}^{3}$ 是减函数。
- 当 $x\in (0,2)$ 时，$y'\gt 0$，函数 $y=3{x}^{2}-{x}^{3}$ 是增函数。
- 当 $x\in (2,+\infty )$ 时，$y'\lt 0$，函数 $y=3{x}^{2}-{x}^{3}$ 是减函数。
步骤 4：确定极值
- 当 $x=0$ 时，函数取得极小值 $y(0)=0$。
- 当 $x=2$ 时，函数取得极大值 $y(2)=4$。