题目

lim _(narrow infty )(dfrac (1)({n)^2+(e)^-1+1}+dfrac (2)({n)^2+(e)^-2+2}+dfrac (n)({n)^2+(e)^-n+n})= ()

$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+e^{-1}+1}+\frac{2}{n^2+e^{-2}+2}+\frac{n}{n^2+e^{-n}+n}\right)=\left(\ \ \ \ \right)$

题目解答

答案

$\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2 + e^{-1} + 1} + \frac{2}{n^2 + e^{-2} + 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + e^{-n} + n}\right)\\ &\leq\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n + 1)\div2}{n^2}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n + 1}{2n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1 + \frac{1}{n}}{2}\\ &=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2 + e^{-1} + 1} + \frac{2}{n^2 + e^{-2} + 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + e^{-n} + n}\right)\\ &\geq\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2 + 1 + 1} + \frac{2}{n^2 + 1 + 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + 1 + n}\right)\\ &\approx\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2 + 2} + \frac{2}{n^2 + 3} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n + 1}\right)\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2 + 2} + \frac{2}{n^2 + 3} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n + 1}\right)\\ &\geq\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2 + n} + \frac{2}{n^2 + n} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n + 1)\div2}{n^2 + n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n + 1}{2(n + 1)}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{2} \end{align*}$

由夹逼准则可知，原式的极限为 $\frac{1}{2}.$