题目

设3阶矩阵A=(a_(1),a_(2),a_(3))有3个不同的特征值，且a_(3)=a_(1)+2a_(2).(1)证明：r(A)=2;(2)若beta=a_(1)+a_(2)+a_(3)，求方程组Ax=beta的通解.

设3阶矩阵$A=(a_{1},a_{2},a_{3})$有3个不同的特征值，且$a_{3}=a_{1}+2a_{2}$. (1)证明：r(A)=2; (2)若$\beta=a_{1}+a_{2}+a_{3}$，求方程组$Ax=\beta$的通解.

题目解答

答案

(1) 证明 $ r(A) = 2 $
由 $ a_3 = a_1 + 2a_2 $，知 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性相关，故 $ r(A) \leq 2 $。
又 $ A $ 有3个不同特征值，可对角化，且至少2个非零特征值，故 $ r(A) \geq 2 $。
综上，$ r(A) = 2 $。

(2) 求方程组 $ Ax = \beta $ 的通解
由 $ \beta = a_1 + a_2 + a_3 $，得 $ \beta = A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $，故 $ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ 是特解。
由 $ a_1 + 2a_2 - a_3 = 0 $，得 $ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $ 是 $ Ax = 0 $ 的解，且基础解系。
通解为：$ \boxed{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}} $（$ k $ 为任意常数）。