题目
[题目]随机地向半圆 lt ylt sqrt (2ax-{x)^2} (a为正常数)-|||-内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的-|||-面积成正比,则原点与该点的连线与x轴的夹角小-|||-于 dfrac (pi )(4) __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定半圆的方程和面积
半圆的方程为 $0\lt y\lt \sqrt {2ax-{x}^{2}}$，这是一个以点 $(a,0)$ 为圆心，半径为 $a$ 的半圆。半圆的面积为 $\dfrac {\pi a^2}{2}$。
步骤 2：确定夹角小于 $\dfrac {\pi }{4}$ 的区域
原点与该点的连线与x轴的夹角小于 $\dfrac {\pi }{4}$ 的点应在半圆的左半部分，即 $0\lt x\lt a$ 的区域。这个区域的面积由三角形和扇形组成。
步骤 3：计算三角形和扇形的面积
三角形的面积为 $\dfrac {1}{2} \times a \times a = \dfrac {a^2}{2}$，扇形的面积为 $\dfrac {1}{4} \times \pi a^2 = \dfrac {\pi a^2}{4}$。因此，夹角小于 $\dfrac {\pi }{4}$ 的区域的面积为 $\dfrac {a^2}{2} + \dfrac {\pi a^2}{4}$。
步骤 4：计算概率
概率为夹角小于 $\dfrac {\pi }{4}$ 的区域的面积与半圆面积的比值，即 $\dfrac {\dfrac {a^2}{2} + \dfrac {\pi a^2}{4}}{\dfrac {\pi a^2}{2}} = \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{\pi}$。
半圆的方程为 $0\lt y\lt \sqrt {2ax-{x}^{2}}$，这是一个以点 $(a,0)$ 为圆心，半径为 $a$ 的半圆。半圆的面积为 $\dfrac {\pi a^2}{2}$。
步骤 2：确定夹角小于 $\dfrac {\pi }{4}$ 的区域
原点与该点的连线与x轴的夹角小于 $\dfrac {\pi }{4}$ 的点应在半圆的左半部分，即 $0\lt x\lt a$ 的区域。这个区域的面积由三角形和扇形组成。
步骤 3：计算三角形和扇形的面积
三角形的面积为 $\dfrac {1}{2} \times a \times a = \dfrac {a^2}{2}$，扇形的面积为 $\dfrac {1}{4} \times \pi a^2 = \dfrac {\pi a^2}{4}$。因此，夹角小于 $\dfrac {\pi }{4}$ 的区域的面积为 $\dfrac {a^2}{2} + \dfrac {\pi a^2}{4}$。
步骤 4：计算概率
概率为夹角小于 $\dfrac {\pi }{4}$ 的区域的面积与半圆面积的比值，即 $\dfrac {\dfrac {a^2}{2} + \dfrac {\pi a^2}{4}}{\dfrac {\pi a^2}{2}} = \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{\pi}$。