题目
25 若 sum _(n=1)^infty (a)_(n)((x+1))^n 在 x=1 处收敛,则此级数在 x=-2 处-|||-(A)条件收敛. (B)绝对收敛.-|||-(C)发散. (D)敛散性不定
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定幂级数的收敛半径
由于幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x+1)}^{n}$ 在 x=1 处收敛，根据阿贝尔定理，幂级数在收敛点的邻域内绝对收敛。因此，收敛半径 R 至少为 2，因为 $|1+1|=2$。
步骤 2：判断 x=-2 处的收敛性
由于 $|-2+1|=1$，而 1 小于收敛半径 R，根据阿贝尔定理，幂级数在 x=-2 处绝对收敛。
由于幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x+1)}^{n}$ 在 x=1 处收敛，根据阿贝尔定理，幂级数在收敛点的邻域内绝对收敛。因此，收敛半径 R 至少为 2，因为 $|1+1|=2$。
步骤 2：判断 x=-2 处的收敛性
由于 $|-2+1|=1$，而 1 小于收敛半径 R，根据阿贝尔定理，幂级数在 x=-2 处绝对收敛。