题目
设f(x)= . ) (x)^2+1,xgt 1 1,x=1 -2x,xlt 1 .A.1B.-2C.2D.不存在
设
，则
A.1
B.-2
C.2
D.不存在
题目解答
答案
由题意，函数，则函数在
处的左、右极限
；
；
因为
，于是由函数极限存在的充分必要条件可知
不存在。
故选：D
解析
步骤 1：确定函数在x=1处的左极限
根据函数定义，当x<1时，f(x)=-2x。因此，当x从左侧趋近于1时，函数的值为-2x。所以，$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}(-2x)=-2$。
步骤 2：确定函数在x=1处的右极限
根据函数定义，当x>1时，f(x)=x^2+1。因此，当x从右侧趋近于1时，函数的值为x^2+1。所以，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}({x}^{2}+1)=2$。
步骤 3：判断函数在x=1处的极限是否存在
根据函数极限存在的充分必要条件，如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，则函数在该点的极限存在。否则，函数在该点的极限不存在。由于$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=-2$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=2$，所以$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)\neq \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)$，因此$\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$不存在。
根据函数定义，当x<1时，f(x)=-2x。因此，当x从左侧趋近于1时，函数的值为-2x。所以，$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}(-2x)=-2$。
步骤 2：确定函数在x=1处的右极限
根据函数定义，当x>1时，f(x)=x^2+1。因此，当x从右侧趋近于1时，函数的值为x^2+1。所以，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}({x}^{2}+1)=2$。
步骤 3：判断函数在x=1处的极限是否存在
根据函数极限存在的充分必要条件，如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，则函数在该点的极限存在。否则，函数在该点的极限不存在。由于$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=-2$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=2$，所以$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)\neq \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)$，因此$\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$不存在。