1.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(1) int_(-h)^hf(x)dxapprox A_(-1)f(-h)+A_(0)f(0)+A_(1)f(h);(2) int_(-2h)^2hf(x)dxapprox A_(-1)f(-h)+A_(0)f(0)+A_(1)f(h);(3) int_(-1)^1f(x)dxapprox [f(-1)+2f(x_(1))+3f(x_(2))]/3;(4) int_(0)^hf(x)dxapprox h[f(0)+f(h)]/2+ah^2[f'(0)-f'(h)].

考察知识

数值积分中求积公式的代数精度确定方法：通过待定参数使求积公式对尽可能高的代数多项式精确成立，代数精度定义为最高次精确成立的多项式次数。

题目(1)解析：$\int_{-h}^{h}f(x)dx\approx A_{-1}f(-h)+A_{0}f(0)+A_{1}f(h)$

步骤1：构造方程组

求积公式含3个参数$(A_{-1},A_0,A_1)$，需对$f(x)=1,x,x^2$精确成立：

• $f(x)=1$：$\int_{-h}^h1dx=2h=A_{-1}+A_0+A_1$
• $f(x)=x$：$\int_{-h}^hx dx=0= -hA_{-1}+0+hA_1\implies A_{-1}=A_1$
• $f(x)=x^2$：$\int_{-h}^hx^2dx=\frac{2h^3}{3}=h^2A_{-1}+0+h^2A_1=2h^2A_{-1}$

步骤2：求解参数

由$A_{-1}=A_1$代入第一个方程：$2h=2A_{-1}+A_0\implies A_0=2h-2A_{-1}$；
代入第三个方程：$\frac{2h^3}{3}=2h^2A_{-1}\implies A_{-1}=\frac{h}{3}$，故$A_1=\frac{h}{3}$，$A_0=\frac{4h}{3}$。

步骤3：验证代数精度

对$f(x)=x^3$：$\int_{-h}^hx^3dx=0$，求积公式近似值为$-\frac{h}{3}h^3+\frac{4h}{3}\cdot0+\frac{h}{3}h^3=0$，仍精确；
对$f(x)=x^4$：$\int_{-h}^hx^4dx=\frac{2h^5}{5}$，求积公式近似值为$\frac{h}{3}h^4+\frac{4h}{3}\cdot0+\frac{h}{3}h^4=\frac{2h^5}{3}\neq\frac{2h^5}{5}$，不精确。
代数精度为3。

题目(2)解析：$\int_{-2h}^{2h}f(x)dx\approx A_{-1}f(-h)+A_{0}f(0)+A_{1}f(h)$

步骤1：构造方程组

对$f(x)=1,x,x^2$精确成立：

• $f(x)=1$：$\int_{-2h}^{2h}1dx=4h=A_{-1}+A_0+A_1$
• $f(x)=x$：$\int_{-2h}^{2h}x dx=0=-hA_{-1}+0+hA_1\implies A_{-1}=A_1$
• $f(x)=x^2$：$\int_{-2h}^{2h}x^2dx=\frac{2(2h)^3}{3}=\frac{16h^3}{3}=h^2A_{-1}+0+h^2A_1=2h^2A_{-1}$

步骤2：求解参数

由第三个方程：$\frac{16h^3}{3}=2h^2A_{-1}\implies A_{-1}=\frac{8h}{3}$，$A_1=\frac{8h}{3}$；
代入第一个方程：$4h=2\cdot\frac{8h}{3}+A_0\implies A_0=4h-\frac{16h}{3}=-\frac{4h}{3}$。

步骤3：验证代数精度

对$f(x)=x^3$：$\int_{-2h}^{2h}x^3dx=0$，求积公式近似值为$-\frac{8h}{3}(-h)^3+\frac{4h}{3}\cdot0+\frac{8h}{3}h^3=\frac{16h^4}{3}+\frac{8h^4}{3}=\frac{24h^4}{3}=8h^4\neq0$？纠正：$f(-h)=(-h)^3=-h^3$，故近似值为$-\frac{8h}{3}(-h^3)+\frac{8h}{3}h^3=\frac{8h^4}{3}+\frac{8h^4}{3}=\frac{16h^4}{3}\neq0$？不，原积分$\int_{-2h}^{2h}x^3dx=0$，求积公式近似值为$A_{-1}(-h)^3+A_1h^3=\frac{8h}{3}(-h^3)+\frac{8h}{3}h^3=0$，精确！
对$f(x)=x^4$：$\int_{-2h}^{2h}x^4dx=\frac{2(2h)^5}{5}=\frac{64h^5}{5}$，求积公式近似值为$\frac{8h}{3}h^4+\frac{8h}{3}h^4=\frac{16h^5}{3}\neq\frac{64h^5}{5}$，不精确。
代数精度为3。

题目(3)解析：$\int_{-1}^{1}f(x)dx\approx [f(-1)+2f(x_1)+3f(x_2)]/3$

步骤1：构造方程组

求积公式含2个参数$(x_1,x_2)$，需对$f(x)=1,x$精确成立：

• $f(x)=1$：$\int_{-1}^11dx=2=\frac{1+2\cdot1+3\cdot1}{3}=\frac{6}{3}=2$，恒成立；
• $f(x)=x$：$\int_{-1}^1x dx=0=\frac{(-1)+2x_1+3x_2}{3}\implies 2x_1+3x_2=1$；
• $f(x)=x^2$：$\int_{-1}^1x^2dx=\frac{2}{3}=\frac{1+2x_1^2+3x_2^2}{3}\implies 2x_1^2+3x_2^2=1$。

步骤2：求解参数

联立$2x_1=1-3x_2\implies x_1=\frac{1-3x_2}{2}$，代入$2x_1^2+3x_2^2=1$：
$2\left(\frac{1-6x_2+9x_2^2}{4}\right)+3x_2^2=1\implies\frac{1-6x_2+9x_2^2}{2}+3x_2^2=1\implies1-6x_2+15x_2^2=2\implies15x_2^2-6x_2-1=0$，
解得$x_2=\frac{6\pm\sqrt{36+60}}{30}=\frac{6\pm\sqrt{96}}{30}=\frac{6\pm4\sqrt{6}}{30}=\frac{3\pm2\sqrt{6}}{15}$，对应$x_1=\frac{1-3x_2}{2}$。

步骤3：验证代数精度

对$f(x)=x^2$已精确，对$f(x)=x^3$：$\int_{-1}^1x^3dx=0$，求积公式近似值为$\frac{(-1)+2x_1^3+3x_2^3}{3}$，代入$x_1,x_2$计算得：
$2x_1^3+3x_2^3=2\left(\frac{1-3x_2}{2}\right)^3+3x_2^3=\frac{(1-3x_2)^3}{4}+3x_2^3=\frac{1-9x_2+27x_2^2-27x_2^3+12x_2^3}{4}=\frac{1-9x_2+27x_2^2-15x_2^3}{4}$，
由$15x_2^2=6x_2+1\implies15x_2^3=6x_2^2+x_2$，代入得：
$\frac{1-9x_2+27x_2^2-2(6x_2^2+x_2)}{4}=\frac{1-11x_2+15x_2^2}{4}=\frac{1-11x_2+2(6x_2+1)}{4}=\frac{1-11x_2+12x_2+2}{4}=\frac{3+x_2}{4}\neq1$，故近似值$\neq0$，不精确。
代数精度为2。

题目(4)解析：$\int_{0}^{h}f(x)dx\approx h[f(0)+f(h)]/2+ah^2[f'(0)-f'(h)]$

步骤1：构造方程组

对$f(x)=1,x,x^2$精确成立：

• $f(x)=1$：$\int_{0}^h1dx=h=\frac{h(1+1)}{2}+ah^2(0-0)=h$，恒成立；
• $f(x)=x$：$\int_{0}^hx dx=\frac{h^2}{2}=\frac{h(0+h)}{2}+ah^2(1-1)=\frac{h^2}{2}$，恒成立；
• $f(x)=x^2$：$\int_{0}^hx^2dx=\frac{h^3}{3}=\frac{h(0+h^2)}{2}+ah^2(0-2h)=\frac{h^3}{2}-2ah^3$。

步骤2：求解参数

由$\frac{h^3}{3}=\frac{h^3}{2}-2ah^3\implies\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-2a\implies2a=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\implies a=\frac{1}{12}$。

步骤3：验证代数精度

对$f(x)=x^3$：$\int_{0}^hx^3dx=\frac{h^4}{4}$，求积公式近似值为$\frac{h(0+h^3)}{2}+\frac{1}{12}h^2(0-3h^2)=\frac{h^4}{2}-\frac{3}{4}h^4=\frac{h^4}{4}$，精确；
对$f(x)=x^4$：$\int_{0}^hx^4dx=\frac{h^5}{5}$，求积公式近似值为$\frac{h(0+h^4)}{)}{2}+\frac{1}{12}h^2(0-4h^3)=\frac{h^5}{2}-\frac{1}{3}h^5=\frac{h^5}{6}\neq\frac{h^5}{5}$，不精确。
代数精度为3。