题目
27.已知映射 omega =(z)^3, 求:-|||-(1)点 _(1)=i, _(2)=1+i, _(3)=sqrt (3)+i 在w平面上的像;-|||-(2)区域 lt arccos glt dfrac (pi )(3) 在w平面上的像.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $z_1 = i$ 在w平面上的像
$z_1 = i$，则 $\omega_1 = (i)^3 = i^3 = -i$。
步骤 2：计算 $z_2 = 1 + i$ 在w平面上的像
$z_2 = 1 + i$，则 $\omega_2 = (1 + i)^3 = (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + 2i - 1)(1 + i) = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$。
步骤 3：计算 $z_3 = \sqrt{3} + i$ 在w平面上的像
$z_3 = \sqrt{3} + i$，则 $\omega_3 = (\sqrt{3} + i)^3 = (\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} + i) = (3 + 2\sqrt{3}i - 1)(\sqrt{3} + i) = (2 + 2\sqrt{3}i)(\sqrt{3} + i) = 2\sqrt{3} + 2i + 6i - 2\sqrt{3} = 8i$。
步骤 4：计算区域 $0 < \arg z < \frac{\pi}{3}$ 在w平面上的像
$0 < \arg z < \frac{\pi}{3}$，则 $0 < \arg z^3 < \pi$，即 $0 < \arg w < \pi$。
$z_1 = i$，则 $\omega_1 = (i)^3 = i^3 = -i$。
步骤 2：计算 $z_2 = 1 + i$ 在w平面上的像
$z_2 = 1 + i$，则 $\omega_2 = (1 + i)^3 = (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + 2i - 1)(1 + i) = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$。
步骤 3：计算 $z_3 = \sqrt{3} + i$ 在w平面上的像
$z_3 = \sqrt{3} + i$，则 $\omega_3 = (\sqrt{3} + i)^3 = (\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} + i) = (3 + 2\sqrt{3}i - 1)(\sqrt{3} + i) = (2 + 2\sqrt{3}i)(\sqrt{3} + i) = 2\sqrt{3} + 2i + 6i - 2\sqrt{3} = 8i$。
步骤 4：计算区域 $0 < \arg z < \frac{\pi}{3}$ 在w平面上的像
$0 < \arg z < \frac{\pi}{3}$，则 $0 < \arg z^3 < \pi$，即 $0 < \arg w < \pi$。